Giải bài tập 15 trang 67

Cho hai mặt phẳng (left( P right):x - y - 6 = 0) và (left( Q right)). Biết rằng điểm (Hleft( {2; - 1; - 2} right)) là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ (Oleft( {0;0;0} right)) xuống mặt phẳng (left( Q right)). Tính góc giữa mặt phẳng (left( P right)) và mặt phẳng (left( Q right)).

Đề bài

Cho hai mặt phẳng $(P) : x - y - 6 = 0$ và $(Q)$ . Biết rằng điểm $H (2; - 1; - 2)$ là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ $O (0; 0; 0)$ xuống mặt phẳng $(Q)$ . Tính góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Do $H$ là hình chiếu của $O$ xuống mặt phẳng $(Q)$ nên $O H ⊥ (Q)$ , suy ra $\vec{O H}$ là một vectơ pháp tuyến của $(Q)$ . Xác định vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của $(P)$ và sử dụng công thức $\cos ((P), (Q)) = | \cos (\vec{O H}, \vec{n}) |$ .

Lời giải chi tiết

Do $H (2; - 1; - 2)$ là hình chiếu của $O$ xuống mặt phẳng $(Q)$ nên $O H ⊥ (Q)$ , suy ra $\vec{O H} = (2; - 1; - 2)$ là một vectơ pháp tuyến của $(Q)$ .

Ta có $\vec{n} = (1; - 1; 0)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ .

Suy ra $\cos ((P), (Q)) = | \cos (\vec{O H}, \vec{n}) |$

$= \frac{| 2.1 + (- 1) . (- 1) + (- 2) .0 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2}} . \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 0^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Vậy $((P), (Q)) = 45^{o}$ .