Giải bài tập 15 trang 67

Đề bài

Cho hai mặt phẳng $\left(P\right):x-y-6=0$ và $\left(Q\right)$. Biết rằng điểm $H\left(2;-1;-2\right)$ là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ $O\left(0;0;0\right)$ xuống mặt phẳng $\left(Q\right)$. Tính góc giữa mặt phẳng $\left(P\right)$ và mặt phẳng $\left(Q\right)$.

Lời giải chi tiết

Do $H\left(2;-1;-2\right)$ là hình chiếu của $O$ xuống mặt phẳng $\left(Q\right)$ nên $OH\perp \left(Q\right)$, suy ra $\overrightarrow{OH}=\left(2;-1;-2\right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left(Q\right)$.

Ta có $\vec{n}=\left(1;-1;0\right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left(P\right)$.

Suy ra $\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{OH},\vec{n}\right)\right|$

$=\frac{\left|2.1+\left(-1\right).\left(-1\right)+\left(-2\right).0\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}.\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2+0^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Vậy $\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)={45}^o$.