Giải bài tập 18 trang 67

Cho ba điểm (Aleft( {1;0;0} right)), (Bleft( {0;2;0} right)) và (Cleft( {0;0;3} right)). Chứng minh rằng nếu điểm (Mleft( {x,y,z} right)) thoả mãn (M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}) thì (M) thuộc một mặt cầu (left( S right)). Tìm tâm và bán kính của (left( S right)).

Đề bài

Cho ba điểm $A (1; 0; 0)$ , $B (0; 2; 0)$ và $C (0; 0; 3)$ . Chứng minh rằng nếu điểm $M (x, y, z)$ thoả mãn $M A^{2} = M B^{2} + M C^{2}$ thì $M$ thuộc một mặt cầu $(S)$ . Tìm tâm và bán kính của $(S)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính độ dài $M A$ , $M B$ và $M C$ theo $x$ , $y$ , $z$ , sau đó thay vào đẳng thức $M A^{2} = M B^{2} + M C^{2}$ và rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết

Ta có $M A^{2} = {(x - 1)}^{2} + y^{2} + z^{2}$ , $M B^{2} = x^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2}$ , $M C^{2} = x^{2} + y^{2} + {(z - 3)}^{2}$ .

Do $M A^{2} = M B^{2} + M C^{2}$ , nên

${(x - 1)}^{2} + y^{2} + z^{2} = x^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} + x^{2} + y^{2} + {(z - 3)}^{2}$

$\Rightarrow - 2 x + 1 = x^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2}$

$\Rightarrow x^{2} + 2 x - 1 + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 0$

$\Rightarrow {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 2$ .

Vậy điểm $M$ thuộc mặt cầu có tâm $I (- 1; 2; 3)$ và bán kính $R = \sqrt{2} .$