Giải bài tập 2.10 trang 59

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó: a) (overrightarrow {AA'} ) và (overrightarrow {C'C;} ) b) (overrightarrow {AA'} ) và (overrightarrow {BC;} ) c)

Đề bài

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:

a) $\vec{A A^{'}}$ và $\vec{C^{'} C}$ ;

b) $\vec{A A^{'}}$ và $\vec{B C}$ ;

c) $\vec{A C}$ và $\vec{B^{'} A^{'}}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng kiến thức về góc giữa hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ . Lấy một điểm O bất kì và gọi A, B là hai điểm sao cho $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}$ . Khi đó, góc $\hat{A O B} (0^{0} \leq \hat{A O B} \leq 180^{0})$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu là $(\vec{a}, \vec{b})$ .

+ Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ . Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số, kí hiệu là $\vec{a} \cdot \vec{b}$ , được xác định bởi công thức sau: $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos (\vec{a}, \vec{b})$ .

Lời giải chi tiết

a) Vì AA’ // CC’ nên hai vectơ $\vec{A A^{'}}$ và $\vec{C^{'} C}$ ngược hướng nhau.

Suy ra, $(\vec{A A^{'}}, \vec{C^{'} C}) = 180^{o}$ .

Do đó, $\vec{A A^{'}} . \vec{C^{'} C} = | \vec{A A^{'}} | . | \vec{C^{'} C} | . \cos (\vec{A A^{'}}, \vec{C^{'} C})$

$= 2.2. \cos 180^{o} = - 4$ .

b) Vì A’ADD’ là hình chữ nhật nên $\hat{A^{'} A D} = 90^{o}$ .

Vì ABCD là hình vuông nên $\vec{B C} = \vec{A D}$ .

Do đó, $(\vec{A A^{'}}, \vec{B C}) = (\vec{A A^{'}}, \vec{A D}) = \hat{A^{'} A D} = 90^{o}$ .

Ta có: $\vec{A A^{'}} . \vec{B C} = \vec{A A^{'}} . \vec{A D}$

$= | \vec{A A^{'}} | . | \vec{A D} | . \cos (\vec{A A^{'}}, \vec{A D}) = 2.1. \cos 90^{o} = 0$ .

c) Vì A’ABB’ là hình chữ nhật nên $\vec{B^{'} A^{'}} = \vec{B A}$ .

Vì ABCD là hình vuông nên $\hat{C A B} = 45^{o}$ và $A C = \sqrt{2}$ .

Ta có: $\vec{A C} . \vec{B^{'} A^{'}} = - \vec{A C} . \vec{A B}$

$= - | \vec{A C} | . | \vec{A B} | . \cos (\vec{A C}, \vec{A B})$

$= - \sqrt{2} .1 . \cos 45^{0} = - 1$ .

Suy ra $\cos (\vec{A C}, \vec{B^{'} A^{'}}) = \frac{\vec{A C} . \vec{B^{'} A^{'}}}{A C . B^{'} A^{'}} = \frac{- 1}{\sqrt{2} .1} = 135^{o}$ .