Giải bài tập 2.10 trang 65

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có $A B = 2 a, C D = 2 a \sqrt{3}$ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết rằng $M N = a \sqrt{7}$ , hãy tính góc giữa hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Sử dụng công thức trung điểm để biểu diễn các vectơ $\vec{N M}$ qua các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ .

- Tính tích vô hướng $\vec{M N} \cdot \vec{M N}$ để từ đó tìm ra tích vô hướng $\vec{A B} \cdot \vec{C D}$ .

- Sử dụng công thức tích vô hướng để tính góc giữa hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ .

Lời giải chi tiết

- Vì $M$ là trung điểm của BC, nên $\vec{B M} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ .

- Vì $N$ là trung điểm của AD, nên $\vec{A N} = \frac{1}{2} \vec{A D}$ .

- Vectơ $\vec{N M}$ có thể được viết là:

$\vec{N M} = \vec{N B} + \vec{B M}$

Với: $\vec{N B} = \vec{N A} + \vec{A B} = \frac{1}{2} \vec{D A} + \vec{A B}$

Và: $\vec{B M} = \frac{1}{2} \vec{B C} = \frac{1}{2} (\vec{B D} - \vec{C D})$ .

Suy ra:

$\vec{N M} = \frac{1}{2} (\vec{D A} + \vec{B D}) + \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{C D} = \frac{1}{2} \vec{B A} + \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{C D} = \frac{1}{2} (\vec{A B} - \vec{C D})$

Ta có: $\vec{N M} \cdot \vec{N M} = \frac{1}{4} (\vec{A B} - \vec{C D}) \cdot (\vec{A B} - \vec{C D})$

Biểu thức này mở rộng thành:

$\frac{1}{4} (\vec{A B} \cdot \vec{A B} - 2 \vec{A B} \cdot \vec{C D} + \vec{C D} \cdot \vec{C D})$

Biết rằng $\vec{N M} \cdot \vec{N M} = M N^{2} = 7 a^{2}$ , $A B = 2 a$ , $C D = 2 a \sqrt{3}$ , ta suy ra:

$7 a^{2} = \frac{1}{4} (4 a^{2} - 2 \vec{A B} \cdot \vec{C D} + 12 a^{2})$

$7 a^{2} = \frac{1}{4} (16 a^{2} - 2 \vec{A B} \cdot \vec{C D})$

$28 a^{2} = 16 a^{2} - 2 \vec{A B} \cdot \vec{C D}$

$\vec{A B} \cdot \vec{C D} = - 6 a^{2}$

- Góc giữa hai vectơ được tính bởi:

$\cos θ = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{C D}}{| \vec{A B} | \cdot | \vec{C D} |}$

$\cos θ = \frac{- 6 a^{2}}{2 a .2 a \sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra góc giữa $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ là $θ = 150^{\circ}$ .