Giải bài tập 2.12 trang 59

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) $\vec{A B} . \vec{C D} = \vec{A C} . \vec{C D} + \vec{B C} . \vec{D C}$ ;

b) $\vec{A B} . \vec{C D} + \vec{A C} . \vec{D B} + \vec{A D} . \vec{B C} = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\vec{A C} . \vec{C D} + \vec{B C} . \vec{D C}$

$= \vec{A C} . \vec{C D} - \vec{B C} . \vec{C D}$

$= \vec{C D} (\vec{A C} + \vec{C B})$

$= \vec{C D} . \vec{A B}$ (đpcm).

b) $\vec{A B} . \vec{C D} + \vec{A C} . \vec{D B} + \vec{A D} . \vec{B C}$

$= \vec{A B} . \vec{C D} + (\vec{A B} + \vec{B C}) . \vec{D B}$

$+ (\vec{A B} + \vec{B D}) . \vec{B C}$

$= \vec{A B} . \vec{C D} + \vec{A B} . \vec{D B} + \vec{B C} . \vec{D B}$

$+ \vec{A B} . \vec{B C} + \vec{B D} . \vec{B C}$

$= \vec{A B} . (\vec{C D} + \vec{D B} + \vec{B C})$

$+ (\vec{B C} . \vec{D B} + \vec{B D} . \vec{B C})$

$= \vec{A B} . (\vec{C B} + \vec{B C}) + \vec{B C} (\vec{D B} + \vec{B D}) = 0$ .