Giải bài tập 2.17 trang 65

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O và các đỉnh D, B, A’ có tọa độ lần lượt là (2; 0; 0), (0; 4; 0), (0; 0; 3) (H.2.45). Xác định tọa độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.

Đề bài

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để xác định tọa độ các điểm: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho $\vec{O M} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết $M = (x; y; z)$ hoặc $M (x; y; z)$ , trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của M.

Lời giải chi tiết

Vì A trùng gốc O nên A(0; 0; 0).

Vì D thuộc tia Ox nên hai vectơ $\vec{O D}$ và $\vec{i}$ cùng hướng. Do đó, tồn tại số thực m sao cho $\vec{O D} = m \vec{i}$ . Mà D(2; 0; 0) nên $m = 2$ .

Vì B thuộc tia Oy nên hai vectơ $\vec{O B}$ và $\vec{j}$ cùng hướng. Do đó, tồn tại số thực n sao cho $\vec{O B} = n \vec{j}$ . Mà B(0; 4; 0) nên $n = 4$

Vì A’ thuộc tia Oz nên hai vectơ $\vec{O A^{'}}$ và $\vec{k}$ cùng hướng. Do đó, tồn tại số thực p sao cho $\vec{O A^{'}} = p \vec{k}$ . Mà A’(0; 0; 3) nên $p = 3$ .

Vì ODCB là hình bình hành nên $\vec{O C} = \vec{O D} + \vec{O B} = m \vec{i} + n \vec{j} = 2 \vec{i} + 4 \vec{j}$ . Do đó, C(2; 4; 0).

Vì OA’B’B là hình bình hành nên $\vec{O B^{'}} = \vec{O A^{'}} + \vec{O B} = p \vec{k} + n \vec{j} = 3 \vec{k} + 4 \vec{j}$ . Do đó, B’(0; 4; 3).

Vì OA’D’D là hình bình hành nên $\vec{O D^{'}} = \vec{O A^{'}} + \vec{O D} = m \vec{i} + p \vec{k} = 2 \vec{i} + 3 \vec{k}$ . Do đó, D’(2; 0; 3).

Vì ABCD. A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên theo quy tắc hình hộp ta có:

$\vec{O C^{'}} = \vec{O D} + \vec{O B} + \vec{O A^{'}} = m \vec{i} + n \vec{j} + p \vec{k}$

$= 2 \vec{i} + 4 \vec{j} + 3 \vec{k}$ . Do đó, C’(2; 4; 3).