Giải bài tập 2.18 trang 65

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O’A’B’C’ có A(1;1;−1)A(1;1;−1)A\left( {1;1; - 1} \right), B(0;3;0)B(0;3;0)B\left( {0;3;0} \right), C′(2;−3;6)C′(2;−3;6)C'\left( {2; - 3;6} \right). a) Xác định tọa độ của điểm C. b) Xác định các tọa độ đỉnh còn lại của hình hộp.

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O’A’B’C’ có $A (1; 1; - 1)$ , $B (0; 3; 0)$ , $C^{'} (2; - 3; 6)$ .

a) Xác định tọa độ của điểm C.

b) Xác định các tọa độ đỉnh còn lại của hình hộp.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút để tìm tọa độ vectơ: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M (x_{M}, y_{M}, z_{M})$ và $N (x_{N}; y_{N}; z_{N})$ .

Khi đó, $\vec{M N} = (x_{N} - x_{M}; y_{N} - y_{M}; z_{N} - z_{M})$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: O(0; 0; 0).

Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên AOBC là hình bình hành. Do đó:

$\vec{O A} = \vec{C B} \Rightarrow {\begin{cases} x_{A} = x_{B} - x_{C} \\ y_{A} = y_{B} - y_{C} \\ z_{A} = z_{B} - z_{C} \end{cases}$

$\Rightarrow {\begin{cases} x_{C} = x_{B} - x_{A} = - 1 \\ y_{C} = y_{B} - y_{A} = 2 \\ z_{C} = z_{B} - z_{A} = 1 \end{cases} \Rightarrow C (- 1; 2; 1)$ .

b) $\vec{C C^{'}} = (3; - 5; 5)$ .

Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên:

$\vec{O O^{'}} = \vec{C C^{'}} \Rightarrow {\begin{array}{l} x_{O^{'}} = 3 \\ y_{O^{'}} = - 5 \\ z_{O^{'}} = 5 \end{array} \Rightarrow O^{'} (3; - 5; 5)$ .

$\vec{A A^{'}} = \vec{C C^{'}} \Rightarrow {\begin{array}{l} x_{A^{'}} - 1 = 3 \\ y_{A^{'}} - 1 = - 5 \\ z_{A^{'}} - (- 1) = 5 \end{array}$

$\Rightarrow {\begin{array}{l} x_{A^{'}} = 4 \\ y_{A^{'}} = - 4 \\ z_{A^{'}} = 4 \end{array} \Rightarrow A^{'} (4; - 4; 4)$ .

$\vec{B B^{'}} = \vec{C C^{'}} \Rightarrow {\begin{array}{l} x_{B^{'}} - 0 = 3 \\ y_{B^{'}} - 3 = - 5 \\ z_{B^{'}} - 0 = 5 \end{array}$

$\Rightarrow {\begin{array}{l} x_{B^{'}} = 3 \\ y_{B^{'}} = - 2 \\ z_{B^{'}} = 5 \end{array} \Rightarrow B^{'} (3; - 2; 5)$ .