Giải bài tập 2.18 trang 79

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC. Biết tọa độ các đỉnh là A(0;1;1)A(0;1;1)A(0;1;1), B(0;1;2)B(0;1;2)B(0;1;2), C(−1;1;1)C(−1;1;1)C( - 1;1;1). a) Tính độ dài các cạnh của tam giác. b) Tính ˆABCABC^\widehat {ABC}.

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC. Biết tọa độ các đỉnh là $A (0; 1; 1)$ , $B (0; 1; 2)$ , $C (- 1; 1; 1)$ .

a) Tính độ dài các cạnh của tam giác.

b) Tính $\hat{A B C}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Độ dài các cạnh được tính bằng công thức:

$A B = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$

b) Sử dụng công thức tích vô hướng để tính góc giữa hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{B C}$ :

$\cos θ = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{B C}}{| \vec{A B} | | \vec{B C} |}$

Lời giải chi tiết

a) Độ dài các cạnh:

$A B = \sqrt{{(0 - 0)}^{2} + {(1 - 1)}^{2} + {(2 - 1)}^{2}} = \sqrt{1} = 1$

$B C = \sqrt{{(0 - (- 1))}^{2} + {(1 - 1)}^{2} + {(2 - 1)}^{2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

$C A = \sqrt{{(0 - (- 1))}^{2} + {(1 - 1)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}} = \sqrt{1} = 1$

b) Tích vô hướng và độ lớn:

$\vec{A B} \cdot \vec{B C} = (0; 0; 1) \cdot (- 1; 0; - 1) = 0 \times (- 1) + 0 \times 0 + 1 \times (- 1) = - 1$

$| \vec{A B} | = 1, | \vec{B C} | = \sqrt{2}$

$\cos θ = \frac{- 1}{\sqrt{2}} \Rightarrow θ = 135^{\circ}$