Giải bài tập 2.2 trang 54

Đề bài

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy

$a$ và đường cao $h$ . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD và O, H lần lượt là tâm của các hình vuông ABCD, MNPQ (Hình 2.6).

a) Trong những vectơ khác $\vec{O}$ , có điểm đầu và điểm cuối là những điểm cho trên hình, hãy liệt kê các vectơ:

- Cùng hướng với $\vec{M N}$ ;

- Bằng $\vec{M N}$ .

b) Tìm độ dài các vectơ $\vec{M P}, \vec{M S}$ theo $a$ và $h$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Xác định các vectơ theo yêu cầu đề bài dựa trên lý thuyết về vectơ.

- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

- Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

- Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Nếu hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ bằng nhau thì ta viết là $\vec{a} = \vec{b}$ .

b) Sử dụng công thức và định lý để tính độ dài của vectơ.

Lời giải chi tiết

a) Liệt kê các vectơ

- Cùng hướng với $\vec{M N}$ :

Vectơ cùng hướng với $\vec{M N}$ là các vectơ có phương và chiều giống với $\vec{M N}$ , cụ thể là: $\vec{Q P}$ , $\vec{A B}$ , $\vec{D C}$ .

- Bằng $\vec{M N}$ :

Vectơ bằng $\vec{M N}$ là các vectơ có độ dài và phương chiều giống với $\vec{M N}$ , cụ thể là: $\vec{Q P}$

b) Tính độ dài các vectơ $\vec{M P}, \vec{M S}$

- Tính độ dài $\vec{M P}$ :

Ta xét tam giác đều SAC có MP là đường trung bình của tam giác đều SAC

$M P = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} \cdot a \sqrt{2}$ (AC là đường chéo của hình vuông ABCD)

Do đó: $\vec{M P} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

- Tính độ dài $\vec{M S}$ :

Ta xét tam giác vuông SOA với $O$ là tâm của hình vuông đáy ABCD:

$S A = \sqrt{h^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \sqrt{h^{2} + \frac{a^{2}}{2}}$

Vì $M$ là trung điểm của SA, ta có: $S M = \frac{1}{2} S A = \frac{1}{2} \sqrt{h^{2} + \frac{a^{2}}{2}}$

Do đó: $\vec{M S} = \frac{1}{2} \sqrt{h^{2} + \frac{a^{2}}{2}}$