Giải bài tập 2.2 trang 54

Đề bài

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy

$a$ và đường cao $h$. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD và O, H lần lượt là tâm của các hình vuông ABCD, MNPQ (Hình 2.6).

a) Trong những vectơ khác $\vec{O}$, có điểm đầu và điểm cuối là những điểm cho trên hình, hãy liệt kê các vectơ:

- Cùng hướng với $\overrightarrow{MN}$;

- Bằng $\overrightarrow{MN}$.

b) Tìm độ dài các vectơ $\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MS}$ theo $a$ và $h$.

Lời giải chi tiết

a) Liệt kê các vectơ

- Cùng hướng với $\overrightarrow{MN}$:

Vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{MN}$ là các vectơ có phương và chiều giống với $\overrightarrow{MN}$, cụ thể là: $\overrightarrow{QP}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DC}$.

- Bằng $\overrightarrow{MN}$:

Vectơ bằng $\overrightarrow{MN}$ là các vectơ có độ dài và phương chiều giống với $\overrightarrow{MN}$, cụ thể là: $\overrightarrow{QP}$

b) Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MS}$

- Tính độ dài $\overrightarrow{MP}$:

Ta xét tam giác đều SAC có MP là đường trung bình của tam giác đều SAC

$MP=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}$ (AC là đường chéo của hình vuông ABCD)

Do đó: $\overrightarrow{MP}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

- Tính độ dài $\overrightarrow{MS}$:

Ta xét tam giác vuông SOA với $O$ là tâm của hình vuông đáy ABCD:

$SA=\sqrt{h^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{h^2+\frac{a^2}{2}}$

Vì $M$ là trung điểm của SA, ta có: $SM=\frac{1}{2}SA=\frac{1}{2}\sqrt{h^2+\frac{a^2}{2}}$

Do đó: $\overrightarrow{MS}=\frac{1}{2}\sqrt{h^2+\frac{a^2}{2}}$