Giải bài tập 2.20 trang 79

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a} = (1; 0; 1)$ , $\vec{b} = (1; 1; 0)$ và $\vec{c} = (- 4; 3; m)$ .

a) Tìm góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

b) Tìm m để vectơ $\vec{d} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ vuông góc với $\vec{c}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng công thức tích vô hướng để tính góc: $\cos θ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}$

b) Điều kiện để $\vec{d}$ vuông góc với $\vec{c}$ là: $\vec{d} \cdot \vec{c} = 0$

Lời giải chi tiết

a) Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ :

$| \vec{b} | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0^{2}} = \sqrt{2}$

Góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được tính bởi:

$\cos θ = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} = \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

Vậy $θ = \cos^{- 1} (\frac{1}{2}) = 60^{\circ}$ .

b) Tìm $m$ để vectơ $\vec{d} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ vuông góc với $\vec{c}$ :

Tọa độ của $\vec{d}$ là:

$\vec{d} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b} = 2 (1; 0; 1) + 3 (1; 1; 0) = (2 + 3; 0 + 3; 2 + 0) = (5; 3; 2)$

Điều kiện để $\vec{d}$ vuông góc với $\vec{c}$ là:

$\vec{d} \cdot \vec{c} = 5 \times (- 4) + 3 \times 3 + 2 \times m = 0$

Giải phương trình: $- 20 + 9 + 2 m = 0$

$2 m = 11$

$m = \frac{11}{2}$

Vậy $m = \frac{11}{2}$ là giá trị cần tìm.