Giải bài tập 2.21 trang 72

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm (Mleft( { - 4;3;3} right),Nleft( {4; - 4;2} right)) và (Pleft( {3;6; - 1} right)). a) Tìm tọa độ của các vectơ (overrightarrow {MN} ,overrightarrow {MP} ), từ đó chứng minh rằng ba điểm M, N, P không thẳng hàng. b) Tìm tọa độ của vectơ (overrightarrow {NM} + overri

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $M (- 4; 3; 3)$ , $N (4; - 4; 2)$ và $P (3; 6; - 1)$ .

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{M N}, \vec{M P}$ , từ đó chứng minh rằng ba điểm M, N, P không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ của vectơ $\vec{N M} + \vec{N P}$ , từ đó suy ra tọa độ của điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành.

c) Tính chu vi của hình bình hành MNPQ.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M (x_{M}, y_{M}, z_{M})$ và $N (x_{N}; y_{N}; z_{N})$ .

Khi đó, $\vec{M N} = (x_{N} - x_{M}; y_{N} - y_{M}; z_{N} - z_{M})$ .

+ Sử dụng kiến thức về hai vectơ không cùng phương để chứng minh ba điểm không thẳng hàng: Nếu hai vectơ $\vec{M N}, \vec{M P}$ không cùng phương thì ba điểm M, N, P không thẳng hàng.

b) Sử dụng quy tắc hình bình hành để tìm tọa độ điểm Q: Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì $\vec{N M} + \vec{N P} = \vec{N Q}$ .

Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ thì $\vec{a} + \vec{b} = (x + x^{'}; y + y^{'}; z + z^{'})$ .

c) Sử dụng kiến về chu vi hình bình hành để tính: Chu vi hình bình hành MNPQ là: $C = 2 (M N + N P)$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\vec{M N} = (4 - (- 4); - 4 - 3; 2 - 3) = (8; - 7; - 1)$ , $\vec{M P} (7; 3; - 4)$ .

Vì $\frac{8}{7} \neq \frac{- 7}{3} \neq \frac{- 1}{- 4}$ nên hai vectơ $\vec{M N}$ , $\vec{M P}$ không cùng phương. Do đó, ba điểm M, N, P không thẳng hàng.

Ta có: $\vec{N M} (- 8; 7; 1)$ , $\vec{N P} (- 1; 10; - 3)$ .

Suy ra: $\vec{N M} + \vec{N P}$

$= ((- 8) + (- 1); 7 + 10; 1 - 3)$

$= (- 9; 17; - 2)$ .

Gọi tọa độ điểm Q là Q(x; y; z), ta có: $\vec{N Q} (x - 4; y + 4; z - 2)$

Để tứ giác MNPQ là hình bình hành thì $\vec{N M} + \vec{N P} = \vec{N Q}$ , suy ra:

${\begin{cases} x - 4 = - 9 \\ y + 4 = 17 \\ z - 2 = - 2 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x = - 5 \\ y = 13 \\ z = 0 \end{cases}$ .

Vậy $Q (- 5; 13; 0)$ .

c) Ta có:

$N M = | \vec{N M} | = \sqrt{{(- 8)}^{2} + 7^{2} + 1^{2}} = \sqrt{114}$ ;

$N P = | \vec{N P} | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 10^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{110}$ .

Vậy chu vi hình bình hành MNPQ là:

$C = 2 (N P + N M) = 2 (\sqrt{114} + \sqrt{110})$ .