Giải bài tập 2.22 trang 72

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có $A (1; 0; 1)$ , $B (0; - 3; 1)$ và $C (4; - 1; 4)$ .

a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng $\hat{B A C} = 90^{o}$ .

c) Tính $\hat{A B C}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về công thức tọa độ trọng tâm của tam giác để tính: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng $A (x_{A}; y_{A}; z_{A}), B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ và $C (x_{C}; y_{C}; z_{C})$ thì tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $(\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3})$ .

b) Sử dụng kiến thức về nhận xét biểu thức tọa độ tích vô hướng trong không gian để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ là hai vectơ khác $\vec{0}$ . Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu $x x^{'} + y y^{'} + z z^{'} = 0$ .

c) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ và $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ thì $A B = | \vec{A B} | = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$ .

Lời giải chi tiết

a) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó:

${\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \frac{5}{3} \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \frac{- 4}{3} \\ z_{G} = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = 2 \end{cases}$ .

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G (\frac{5}{3}; \frac{- 4}{3}; 2)$ .

b) Ta có: $\vec{A B} (- 1; - 3; 0)$ , $\vec{A C} (3; - 1; 3)$ .

Vì $\vec{A B} . \vec{A C} = (- 1) .3 + (- 3) (- 1) + 0.3 = 0$ nên $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ . Do đó, $\hat{B A C} = 90^{o}$ .

c) Ta có: $B A = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$ ; $A C = \sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{19}$ .

Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\tan \hat{A B C} = \frac{A C}{B A} = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{10}} \Rightarrow \hat{A B C} \approx 54^{0}$ .