Giải bài tập 2.24 trang 82

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; -2; 1), C(-1; -2; -3). a) Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. c) Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm I và chu vi của hình bình hành này.

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; -2; 1), C(-1; -2; -3).

a) Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

c) Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm I và chu vi của hình bình hành này.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Để chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác, ta kiểm tra xem ba điểm này có thẳng hàng hay không. Tính các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ , sau đó tính tích vô hướng $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ . Nếu tích vô hướng bằng tích độ dài của hai vectơ, tức là , thì ba điểm thẳng hàng; ngược lại, chúng tạo thành một tam giác.

b) Trọng tâm G của tam giác ABC được xác định bằng công thức:

$G (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3})$

c) Điểm D được xác định bằng cách sử dụng tính chất của hình bình hành: $\vec{A B} = \vec{C D} .$ Tọa độ của tâm I của hình bình hành ABCD là trung điểm của hai đường chéo, và chu vi hình bình hành là 2(AB + BC).

Lời giải chi tiết

a) Tính các vectơ:

$\vec{A B} = (1; - 4; - 2), \vec{A C} = (- 2; - 4; - 6)$

Tích vô hướng:

$\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 1 (- 2) + (- 4) (- 4) + (- 2) (- 6) = - 2 + 16 + 12 = 26$ _.

Độ dài của các vectơ:

$| \vec{A B} | = \sqrt{1^{2} + {(- 4)}^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{21}, | \vec{A C} | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 4)}^{2} + {(- 6)}^{2}} = \sqrt{56}$

So sánh:

$| \vec{A B} | \cdot | \vec{A C} | \approx \sqrt{21} \times \sqrt{56} = \sqrt{1176} \neq 26$

Do đó, ba điểm A, B, C không thẳng hàng và tạo thành một tam giác.

b) Tọa độ trọng tâm $G$ :

$G (\frac{1 + 2 - 1}{3}; \frac{2 - 2 - 2}{3}; \frac{3 + 1 - 3}{3}) = G (\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}; \frac{1}{3})$

c) Điểm D thỏa mãn $\vec{A B} = \vec{D C}$ , tức là $\vec{C} - \vec{D} = \vec{B} - \vec{A}$ , nên tọa độ D sẽ là:

$D = (A - B) + C = (1 - 2; 2 - (- 2); 3 - (- 3)) + (- 1; - 2; - 3) = (- 2; 2; 3)$

Tọa độ tâm I của hình bình hành ABCD :

$I = \frac{A + C}{2} = \frac{(1; 2; 3) + (- 1; - 2; - 3)}{2} = (0; 0; 0)$

Chu vi hình bình hành ABCD :

$A B = \sqrt{{(2 - 1)}^{2} + {(- 2 - 2)}^{2} + {(1 - 3)}^{2}} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}$

$B C = \sqrt{{(- 1 - 2)}^{2} + {(- 2 - (- 2))}^{2} + {(- 3 - 1)}^{2}} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$P = 2 \times (\sqrt{21} + 5)$