Giải bài tập 2.28 trang 73

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tích vô hướng (overrightarrow {AB} .overrightarrow {AM} ) bằng A. (frac{{{a^2}}}{4}). B. (frac{{{a^2}}}{2}). C. (frac{{{a^2}}}{3}). D. ({a^2}).

Đề bài

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A M}$ bằng

A. $\frac{a^{2}}{4}$ .

B. $\frac{a^{2}}{2}$ .

C. $\frac{a^{2}}{3}$ .

D. $a^{2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ . Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số, kí hiệu là $\vec{a} \cdot \vec{b}$ , được xác định bởi công thức sau: $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos (\vec{a}, \vec{b})$ .

Lời giải chi tiết

Tam giác ACD có ba cạnh bằng a nên tam giác ACD đều, AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên $A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Tam giác CBD có ba cạnh bằng a nên tam giác CBD đều, BM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên $B M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Áp dụng định côsin vào tam giác ABM ta có:

$\cos \hat{B A M} = \frac{A M^{2} + A B^{2} - M B^{2}}{2 A B . M B}$

$= \frac{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} + a^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}}{2. \frac{a \sqrt{3}}{2} . a} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\vec{A B} . \vec{A M} = | \vec{A B} | . | \vec{A M} | . \cos (\vec{A B}; \vec{A M})$

$= a . \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a^{2}}{2}$ .

Chọn B