Giải bài tập 2.36 trang 74

Cho tứ diện ABCD, lấy hai điểm M, N thỏa mãn (overrightarrow {MB} + 2overrightarrow {MA} = overrightarrow 0 ) và (overrightarrow {NC} = 2overrightarrow {DN} ). Hãy biểu diễn (overrightarrow {MN} ) theo (overrightarrow {AD} ) và (overrightarrow {BC} ).

Đề bài

Cho tứ diện ABCD, lấy hai điểm M, N thỏa mãn $\vec{M B} + 2 \vec{M A} = \vec{0}$ và $\vec{N C} = 2 \vec{D N}$ . Hãy biểu diễn $\vec{M N}$ theo $\vec{A D}$ và $\vec{B C}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: $\vec{M B} + 2 \vec{M A} = \vec{0} \Rightarrow \vec{M B} = - 2 \vec{M A}$ ,

$\vec{N C} = 2 \vec{D N} \Rightarrow \vec{C N} = - 2 \vec{D N}$ .

Ta có: $\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A D} + \vec{D N}$ (1)

$\vec{M N} = \vec{M B} + \vec{B C} + \vec{C N}$

$= - 2 \vec{M A} + \vec{B C} - 2 \vec{D N}$ (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có:

$2 \vec{M N}$

$= \vec{M A} + \vec{A D} + \vec{D N} - 2 \vec{M A} + \vec{B C} - 2 \vec{D N}$

$= - \vec{M A} - \vec{D N} + \vec{B C} + \vec{A D}$

$= \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{C D} + \vec{B C} + \vec{A D}$

$= \frac{1}{3} (\vec{A C} + \vec{C B} + \vec{C A} + \vec{A D}) + \vec{B C} + \vec{A D}$

$= \frac{2}{3} \vec{B C} + \frac{4}{3} \vec{A D}$

$\vec{M N} = \frac{1}{3} \vec{B C} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ .