Giải bài tập 2.37 trang 74

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’. a) Biểu diễn (overrightarrow {AG} ) theo (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AD} ) và (overrightarrow {AA'} ). b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’.

a) Biểu diễn $\vec{A G}$ theo $\vec{A B}, \vec{A D}$ và $\vec{A A^{'}}$ .

b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu $\vec{a} = \vec{b}$ , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Sử dụng kiến thức về trung điểm của đoạn thẳng để chứng minh: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB, với điểm M tùy ý ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$ .

Sử dụng quy tắc hình bình hành để chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Sử dụng kiến thức về quy tắc hình hộp để chứng minh: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có: $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}}$ .

b) Sử dụng kiến thức về 2 vectơ cùng phương để chứng minh ba điểm thẳng hàng: Nếu $\vec{A B} = k \vec{A C}$ thì hai vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ cùng phương và 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Gọi I là giao điểm của AC và BD. Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên I là trung điểm của BD. Do đó, A’I là đường trung tuyến của tam giác A’BD. Mà G là trọng tâm tam giác A’BD nên $\vec{A^{'} G} = \frac{2}{3} \vec{A^{'} I}$ .

Vì I là trung điểm BD nên $\vec{A^{'} I} = \frac{1}{2} (\vec{A^{'} B} + \vec{A^{'} D})$

$= \frac{1}{2} (\vec{A^{'} A} + \vec{A^{'} B^{'}} + \vec{A^{'} D^{'}} + \vec{A^{'} A})$

$= - \vec{A A^{'}} + \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ .

Do đó, $\vec{A^{'} G} = - \frac{2}{3} \vec{A A^{'}} + \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ .

Ta có: $\vec{A G} = \vec{A A^{'}} + \vec{A^{'} G}$

$= \vec{A A^{'}} - \frac{2}{3} \vec{A A^{'}} + \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$

$= \frac{1}{3} (\vec{A A^{'}} + \vec{A B} + \vec{A D})$ .

b) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên $\vec{A C^{'}} = \vec{A A^{'}} + \vec{A B} + \vec{A D}$ .

Do đó, $\vec{A C^{'}} = 3 \vec{A G}$ nên hai vectơ $\vec{A C^{'}}$ và $\vec{A G}$ cùng phương. Vậy ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.