Giải bài tập 2.38 trang 74

Trong không gian Oxyz, cho các điểm (Aleft( {2; - 1;3} right),Bleft( {1;1; - 1} right)) và (Cleft( { - 1;0;2} right)). a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A (2; - 1; 3)$ , $B (1; 1; - 1)$ và $C (- 1; 0; 2)$ .

a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về công thức tọa độ trọng tâm của tam giác để tính: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng $A (x_{A}; y_{A}; z_{A}), B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ và $C (x_{C}; y_{C}; z_{C})$ . Khi đó, tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $(\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3})$ .

b) Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để tính: Nếu điểm A thuộc trục Oz thì tọa độ của điểm A là A(0; 0; z).

Sử dụng kiến thức về nhận xét biểu thức tọa độ tích vô hướng trong không gian để giải: Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ là hai vectơ khác $\vec{0}$ . Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu $x x^{'} + y y^{'} + z z^{'} = 0$ .

Lời giải chi tiết

a) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ${\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \frac{2 + 1 - 1}{3} = \frac{2}{3} \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \frac{- 1 + 1 + 0}{3} = 0 \\ z_{G} = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \frac{3 - 1 + 2}{3} = \frac{4}{3} \end{cases}$

Vậy tọa độ trọng tâm G là: G $(\frac{2}{3}; 0; \frac{4}{3})$ .

b) Vì M thuộc trục Oz nên M(0; 0; z).

Ta có: $\vec{B M} (- 1; - 1; z + 1)$ , $\vec{A C} (- 3; 1; - 1)$ .

Vì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC nên:

$\vec{B M} . \vec{A C}$

$= 0 \Leftrightarrow (- 1) . (- 3) + (- 1) .1 + (z + 1) (- 1) = 0$

$\Leftrightarrow 2 - z - 1 = 0 \Leftrightarrow z = 1$ .

Vậy M(0; 0; 1) thì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.