Giải bài tập 2.39 trang 74

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O’A’B’C’ có $A\left(2;3;1\right)$, $C\left(-1;2;3\right)$ và $O^{\prime }\left(1;-2;2\right)$. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Lời giải chi tiết

Ta có: O(0; 0; 0).

Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên:

$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{O{O}^{\prime }}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_{A^{\prime }}-x_A=x_{O^{\prime }}-x_O\\ y_{A^{\prime }}-y_A=y_{O^{\prime }}-y_O\\ z_{A^{\prime }}-z_A=z_{O^{\prime }}-z_O\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_{A^{\prime }}=x_{O^{\prime }}-x_O+x_A=3\\ y_{A^{\prime }}=y_{O^{\prime }}-y_O+y_A=1\\ z_{A^{\prime }}=z_{O^{\prime }}-z_O+z_A=3\end{array}$

$\Rightarrow A^{\prime }\left(3;1;3\right)$.

$\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{O{O}^{\prime }}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_{C^{\prime }}-x_C=x_{O^{\prime }}-x_O\\ y_{C^{\prime }}-y_C=y_{O^{\prime }}-y_O\\ z_{C^{\prime }}-z_C=z_{O^{\prime }}-z_O\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_{C^{\prime }}=x_{O^{\prime }}-x_O+x_C=0\\ y_{C^{\prime }}=y_{O^{\prime }}-y_O+y_C=0\\ z_{C^{\prime }}=z_{O^{\prime }}-z_O+z_C=5\end{array}$

$\Rightarrow C^{\prime }\left(0;0;5\right)$.

Vì ABCO là hình bình hành nên:

$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OA}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_B+1=2\\ y_B-2=3\\ z_B-3=1\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_B=1\\ y_B=5\\ z_B=4\end{array}\Rightarrow B\left(1;5;4\right)$.

Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên:

$\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{O{O}^{\prime }}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_{B^{\prime }}-1=1\\ y_{B^{\prime }}-5=-2\\ z_{B^{\prime }}-4=2\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_{B^{\prime }}=2\\ y_{B^{\prime }}=3\\ z_{B^{\prime }}=6\end{array}\Rightarrow B^{\prime }\left(2;3;6\right)$.