Giải bài tập 2.4 trang 58

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$;

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{D}^{\prime }}-\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{0}$;

c) $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{A^{\prime }C}$.

Lời giải chi tiết

a) Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Vì CDD’C’ là hình bình hành nên $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{CD},\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$.

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}$

$=\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}\right)+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{D}^{\prime }}-\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$

$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$.

c) Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}$.

Vì A’ACC’ là hình bình hành nên $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{C{A}^{\prime }}$.

$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{DC}=-\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}\right)-\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$

$=-\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=-\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}\right)=-\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }C}$.