Giải bài tập 2.40 trang 74

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (- 2; 1; 2), \vec{b} = (1; 1; - 1)$ .

a) Xác định tọa độ của vectơ $\vec{u} = \vec{a} - 2 \vec{b}$ .

b) Tính độ dài của $\vec{u}$ .

c) Tính $\cos (\vec{a}; \vec{b})$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ để tìm tọa độ của vectơ: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ . Ta có:

+ $\vec{a} - \vec{b} = (x - x^{'}; y - y^{'}; z - z^{'})$ ;

+ $k \vec{a} = (k x; k y; k z)$ với k là một số thực.

b) Sử dụng kiến thức về độ dài của vectơ trong không gian để tính: Nếu $\vec{a} = (x; y; z)$ thì độ dài vectơ $\vec{a}$ là $| \vec{a} | = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ .

c) Sử dụng kiến thức về cosin góc của 2 vectơ trong không gian để tính: Nếu $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ là hai vectơ khác $\vec{0}$ thì $\cos (\vec{a}; \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} . \sqrt{x^{' 2} + y^{' 2} + z^{' 2}}}$ .

Lời giải chi tiết

a) $\vec{u} = \vec{a} - 2 \vec{b}$

$= (- 2 - 2.1; 1 - 2.1; 2 - 2 (- 1))$

$= (- 4; - 1; 4)$ .

b) $| \vec{u} | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{33}$ .

c) $\cos (\vec{a}; \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$

$= \frac{(- 2) .1 + 1.1 + 2. (- 1)}{\sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + 2^{2}} . \sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{- \sqrt{3}}{3}$ .