Giải bài tập 2.41 trang 74

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A (4; 2; - 1)$ , $B (1; - 1; 2)$ và $C (0; - 2; 3)$ .

a) Tìm tọa độ của vectơ $\vec{A B}$ và tính độ dài đoạn thẳng AB.

b) Tìm tọa độ điểm M sao cho $\vec{A B} + \vec{C M} = \vec{0}$ .

c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về thiết lập tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M (x_{M}, y_{M}, z_{M})$ và $N (x_{N}; y_{N}; z_{N})$ .

Khi đó, $\vec{M N} = (x_{N} - x_{M}; y_{N} - y_{M}; z_{N} - z_{M})$ .

b) Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tìm tọa độ điểm M: Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ . Khi đó, $\vec{a} = \vec{b}$ nếu và chỉ nếu ${\begin{cases} x = x^{'} \\ y = y^{'} \\ z = z^{'} \end{cases}$ .

c) Sử dụng kiến thức về hai vectơ cùng phương để chứng minh ba điểm thẳng hàng: Nếu $\vec{M N} = k \vec{M P}$ (k là số thực) thì $\vec{M N}, \vec{M P}$ cùng phương và ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) $\vec{A B} = (1 - 4; - 1 - 2; 2 + 1) = (- 3; - 3; 3)$ .

$\Rightarrow | \vec{A B} | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{3}$ .

b) Gọi M (x; y; z) thì $\vec{M C} = (- x; - 2 - y, 3 - z)$ .

Vì $\vec{A B} + \vec{C M} = \vec{0} \Rightarrow \vec{A B} = \vec{M C}$

$\Rightarrow {\begin{cases} - x = - 3 \\ - 2 - y = - 3 \\ 3 - z = 3 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \\ z = 0 \end{cases}$ .

Do đó, M(3; 1; 0).

c) Vì N thuộc mặt phẳng (Oxy) nên tọa độ điểm N là N(x; y; 0).

Ta có: $\vec{A N} (x - 4; y - 2; 1)$ ; $\vec{B N} (x - 1; y + 1; - 2)$ .

Để A, B, N thẳng hàng thì hai vectơ $\vec{A N}$ , $\vec{B N}$ cùng phương. Do đó, $\vec{A N} = k \vec{B N}$ (với k là số thực bất kì).

Suy ra, ${\begin{cases} x - 4 = k (x - 1) \\ y - 2 = k (y + 1) \\ 1 = - 2 k \end{cases}$

$\Rightarrow {\begin{cases} x - 4 = - \frac{1}{2} (x - 1) \\ y - 2 = - \frac{1}{2} (y + 1) \\ k = \frac{- 1}{2} \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases}$ .

Vậy N(3; 1; 0).