Giải bài tập 2.6 trang 58

Cho hình chóp tứ giác S. ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu (overrightarrow {SA} + overrightarrow {SC} = overrightarrow {SB} + overrightarrow {SD} ).

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác S. ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

Sử dụng quy tắc hình bình hành để chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu $\vec{a} = \vec{b}$ nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Lời giải chi tiết

Chứng minh: Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$ .

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Khi đó, O là trung điểm của AC, BD.

Suy ra $\vec{O C} = - \vec{O A}$ , $\vec{O D} = - \vec{O B}$ .

Ta có:

$\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S O} + \vec{O A} + \vec{S O} + \vec{O C}$

$= 2 \vec{S O} + (\vec{O A} - \vec{O A}) = 2 \vec{S O}$ .

$\vec{S B} + \vec{S D} = \vec{S O} + \vec{O B} + \vec{S O} + \vec{O D}$

$= 2 \vec{S O} + (\vec{O B} - \vec{O B}) = 2 \vec{S O}$ .

Do đó, $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$ .

Chứng minh: Nếu $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$ thì tứ giác ABCD là hình bình hành:

Ta có: $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$

$\Leftrightarrow \vec{S A} - \vec{S B} = \vec{S D} - \vec{S C} \Leftrightarrow \vec{B A} = \vec{C D}$ .

Suy ra, hai vectơ $\vec{B A}$ và $\vec{C D}$ cùng hướng và có độ lớn bằng nhau.

Suy ra, AB = CD, AB // CD. Khi đó, tứ giác ABCD là hình bình hành.

Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$ .