Giải bài tập 2.7 trang 65

Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính: a) −−→BC.−−→AH;BC→.AH→;\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} ; b) −−→AF.−−→EG;AF→.EG→;\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG} ; c) −−→AC.−−→FE.AC→.FE→.\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {FE} .

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính:

a) $\vec{B C} . \vec{A H};$

b) $\vec{A F} . \vec{E G};$

c) $\vec{A C} . \vec{F E} .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tính tích vô hướng giữa hai vectơ, ta có thể áp dụng công thức:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \cos θ$

Lời giải chi tiết

Giả sử hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh $a$ .

a) Tính $\vec{B C} \cdot \vec{A H}$ :

- $| \vec{B C} | = a$

- $| \vec{A H} | = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$

- Góc giữa $\vec{B C}$ và $\vec{A H}$ là ${45^^\circ }$ vì $\vec{B C} = \vec{A D}$ mà $\hat{(\vec{A D}, \vec{A H})} = 45^{\circ}$

Do đó:

$\vec{B C} \cdot \vec{A H} = | \vec{B C} | \cdot | \vec{A H} | \cdot \cos 45^{\circ} = a \cdot a \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = a^{2}$

b) Tính $\vec{A F} \cdot \vec{E G}$ :

- $| \vec{A F} | = a \sqrt{2}$

- $| \vec{E G} | = a \sqrt{2}$

- Góc giữa $\vec{A F}$ và $\vec{E G}$ là $60^{\circ}$ vì $\vec{E G} = \vec{A C}$ mà tam giác ACF đều.

Do đó:

$\vec{A F} \cdot \vec{E G} = | \vec{A F} | \cdot | \vec{E G} | \cdot \cos 60^{\circ} = a \sqrt{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = a^{2}$

c) Tính $\vec{A C} \cdot \vec{F E}$ :

- $| \vec{A C} | = a \sqrt{2}$

- $| \vec{F E} | = a$

- Góc giữa $\vec{A C}$ và $\vec{F E}$ là $135^{\circ}$ vì góc giữa $\vec{A C}$ và vectơ đối của $\vec{F E}$ là $\vec{E F}$ là $45^{\circ}$ mà $\hat{(\vec{A C}, \vec{E F})} + \hat{(\vec{A C}, \vec{F E})} = 180^{\circ}$

Do đó:

$\vec{A C} \cdot \vec{F E} = | \vec{A C} | \cdot | \vec{F E} | \cdot \cos 135^{\circ} = a \sqrt{2} \cdot a \cdot \cos 135^{\circ}$

Vì $\cos 135^{\circ} = - \frac{1}{\sqrt{2}}$ , ta có:

$\vec{A C} \cdot \vec{F E} = a \sqrt{2} \cdot a \cdot (- \frac{1}{\sqrt{2}}) = - a^{2}$