Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính:
a) −−→BC.−−→AH;
b) −−→AF.−−→EG;
c) −−→AC.−−→FE.
Để tính tích vô hướng giữa hai vectơ, ta có thể áp dụng công thức:
⃗u⋅⃗v=|⃗u|⋅|⃗v|⋅cosθ
Lời giải chi tiết
Giả sử hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a.
a) Tính −−→BC⋅−−→AH:
- |−−→BC|=a
- |−−→AH|=√a2+a2=a√2
- Góc giữa −−→BC và −−→AH là {45^^\circ } vì −−→BC=−−→AD mà ˆ(−−→AD,−−→AH)=45∘
Do đó:
−−→BC⋅−−→AH=|−−→BC|⋅|−−→AH|⋅cos45∘=a⋅a√2⋅1√2=a2
b) Tính −−→AF⋅−−→EG:
- |−−→AF|=a√2
- |−−→EG|=a√2
- Góc giữa −−→AF và −−→EG là 60∘ vì −−→EG=−−→AC mà tam giác ACF đều.
Do đó:
−−→AF⋅−−→EG=|−−→AF|⋅|−−→EG|⋅cos60∘=a√2⋅a√2⋅12=a2
c) Tính −−→AC⋅−−→FE:
- |−−→AC|=a√2
- |−−→FE|=a
- Góc giữa −−→AC và −−→FE là 135∘ vì góc giữa −−→AC và vectơ đối của −−→FE là −−→EF là 45∘ mà ˆ(−−→AC,−−→EF)+ˆ(−−→AC,−−→FE)=180∘
Do đó:
−−→AC⋅−−→FE=|−−→AC|⋅|−−→FE|⋅cos135∘=a√2⋅a⋅cos135∘
Vì cos135∘=−1√2, ta có:
−−→AC⋅−−→FE=a√2⋅a⋅(−1√2)=−a2
