Giải bài tập 2.8 trang 65

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và

$\hat{B A A^{'}} = \hat{B A D} = \hat{D A A^{'}} = 60^{\circ}$ . Tính độ dài đường chéo AC’.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng quy tắc hình hộp và công thức tính tích vô hướng của vectơ, từ đó ta có công thức tính độ dài của $\vec{A C^{'}}$ là:

$| \vec{A C^{'}} | = \sqrt{| \vec{A B} |^{2} + | \vec{A D} |^{2} + | \vec{A A^{'}} |^{2} + 2 \vec{A B} \cdot \vec{A D} + 2 \vec{A B} \cdot \vec{A A^{'}} + 2 \vec{A D} \cdot \vec{A A^{'}}}$

Lời giải chi tiết

Vì tất cả các cạnh đều bằng a và các góc giữa các cặp vectơ đều là $∖ (60^{\circ} ∖)$ , ta có:

$| \vec{A B} | = | \vec{A D} | = | \vec{A A^{'}} | = a$

Tích vô hướng giữa các cặp vectơ:

$\vec{A B} \cdot \vec{A D} = a^{2} \cos 60^{\circ} = \frac{a^{2}}{2}$

$\vec{A B} \cdot \vec{A A^{'}} = a^{2} \cos 60^{\circ} = \frac{a^{2}}{2}$

$\vec{A D} \cdot \vec{A A^{'}} = a^{2} \cos 60^{\circ} = \frac{a^{2}}{2}$

Vì ABCD.A’B’C’D’ nên:

$\vec{A C^{'}} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}}$

Suy ra:

$| \vec{A C^{'}} | = \sqrt{| \vec{A B} |^{2} + | \vec{A D} |^{2} + | \vec{A A^{'}} |^{2} + 2 \vec{A B} \cdot \vec{A D} + 2 \vec{A B} \cdot \vec{A A^{'}} + 2 \vec{A D} \cdot \vec{A A^{'}}}$

Tính độ dài đường chéo AC':

$| \vec{A C^{'}} | = \sqrt{a^{2} + a^{2} + a^{2} + 2 (\frac{a^{2}}{2}) + 2 (\frac{a^{2}}{2}) + 2 (\frac{a^{2}}{2})}$

$| \vec{A C^{'}} | = \sqrt{3 a^{2} + 3 a^{2}} = \sqrt{6 a^{2}} = a \sqrt{6}$

Vậy độ dài đường chéo $A C^{'}$ là $a \sqrt{6}$ .