Giải bài tập 2 trang 117

Đề bài

Cho đường tròn $\left(O;R\right)$ và dây $AB$ sao cho $\widehat{AOB}={90}^{\circ }$. Giả sử $M,N$ lần lượt là các điểm thuộc cung lớn $AB$ và cung nhỏ $AB$ ($M,N$ khác $A$ và $B$).

a) Tính độ dài đoạn thẳng $AB$ theo $R$.

b) Tính số đo các góc $ANB$ và $AMB$.

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $AOB$ vuông tại $O$, ta có:

$O{A}^2+O{B}^2=A{B}^2\Rightarrow A{B}^2=R^2+R^2=2R^2\Rightarrow AB=R\sqrt{2}$

b) Xét đường tròn $\left(O\right)$:

+) Vì M thuộc cung lớn AB nên $\widehat{AMB}$ là góc nội tiếp và $\widehat{AOB}$ là góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ $AB$ nên:

$\widehat{AMB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\frac{1}{2}{.90}^{\circ }={45}^{\circ }$.

+) Số đo cung lớn AB là:

$sđ\stackrel{⌢}{AB}lớn=360{}^{\circ }-sđ\stackrel{⌢}{AB}nhỏ=360{}^{\circ }-90{}^{\circ }=270{}^{\circ }$

+) Vì N thuộc cung nhỏ AB nên $\widehat{ANB}$ là góc nội tiếp chắn cung lớn $AB$ nên:

$\widehat{ANB}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⌢}{AB}lớn=\frac{1}{2}.270{}^{\circ }=135{}^{\circ }$.

Vậy $\widehat{AMB}={45}^{\circ },\widehat{ANB}={135}^{\circ }$.