Giải bài tập 2 trang 18

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) (y = {x^3} - 12x + 1) trên đoạn [-1;3] b) (y = - {x^3} + 24{x^2} - 180x + 400) trên đoạn [3;11] c) (y = frac{{2x + 1}}{{x - 2}}) trên đoạn [3;7] d) (y = sin 2x) trên đoạn ([0;frac{{7pi }}{{12}}])

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y = x^{3} - 12 x + 1$ trên đoạn [-1;3];

b) $y = - x^{3} + 24 x^{2} - 180 x + 400$ trên đoạn [3;11];

c) $y = \frac{2 x + 1}{x - 2}$ trên đoạn [3;7];

d) $y = \sin 2 x$ trên đoạn $[0; \frac{7 π}{12}]$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).

Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị $f (a), f (x_{1}), f (x_{2}), . . ., f (x_{n}), f (b)$ .

Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b].

Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTNN của hàm số trên đoạn [a;b].

Lời giải chi tiết

a) Xét $y = x^{3} - 12 x + 1$ trên đoạn [-1;3].

$y^{'} = 3 x^{2} - 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 2 (L) \end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max_{[- 1; 3]} y = y (- 1) = 12$ và $min_{[- 1; 3]} y = y (2) = - 15$ .

b) Xét $y = - x^{3} + 24 x^{2} - 180 x + 400$ trên đoạn [3;11].

$y^{'} = - 3 x^{2} + 48 x - 180 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 10 \\ x = 6 \end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max_{[3; 11]} y = y (3) = 49$ và $min_{[3; 11]} y = y (6) = - 32$ .

c) Xét $y = \frac{2 x + 1}{x - 2}$ trên đoạn [3;7].

$y^{'} = \frac{- 5}{{(x - 2)}^{2}} < 0$ , $\forall x \in [3; 7]$ .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max_{[3; 7]} y = y (3) = 7$ và $min_{[3; 7]} y = y (7) = 3$ .

d) Xét $y = \sin 2 x$ trên đoạn $[0; \frac{7 π}{12}]$ .

$y^{'} = 2 \cos 2 x = 0 \Leftrightarrow 2 x = \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$ .

Ta có: $x \in [0; \frac{7 π}{12}] \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{4}$ .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max_{[0; \frac{7 π}{12}]} y = y (\frac{π}{4}) = 1$ và $min_{[0; \frac{7 π}{12}]} y = y (\frac{7 π}{12}) = - \frac{1}{2}$ .