Giải bài tập 2 trang 19

Tìm giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau: a) (fleft( x right) = frac{4}{{1 + {x^2}}}). b) (fleft( x right) = x - frac{3}{x}) trên nửa khoảng ((0;3]).

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau:

a) $f (x) = \frac{4}{1 + x^{2}}$ .

b) $f (x) = x - \frac{3}{x}$ trên nửa khoảng $(0; 3]$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

B1: Tìm các điểm $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ thuộc khoảng $(a; b)$ mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

B2: Tính $f (x_{1}), f (x_{2}), . . ., f (x_{n}), f (a), f (b)$ .

B3: So sánh các giá trị tìm được ở bước 2 và kết luận.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định $D = R$ .

Ta có: $f^{'} (x) = \frac{8 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

Nhận xét $f^{'} (x) = \frac{- 8 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 khi $x = 0$ .

b) Ta có: $f^{'} (x) = 1 + \frac{3}{x^{2}}$ .

Nhận xét $f^{'} (x) > 0 \forall x \in (0; 3]$ . Hàm số đồng biến trên (0;3].

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 khi $x = 3$ .