Giải bài tập 2 trang 24

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau: a) (y = frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}}) b) (y = frac{{2{x^2} - 3x - 6}}{{x + 2}}) c) (y = frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}})

Đề bài

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:

a) $y = \frac{x^{2} + 2}{2 x - 4}$

b) $y = \frac{2 x^{2} - 3 x - 6}{x + 2}$

c) $y = \frac{2 x^{2} + 9 x + 11}{2 x + 5}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Đường thẳng x = a được gọi là một đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn: $\underset{x \to a^{-}}{lim f (x) =} + \infty, \underset{x \to a^{+}}{lim f (x) =} + \infty, \underset{x \to a^{-}}{lim f (x) =} - \infty, \underset{x \to a^{+}}{lim f (x) =} - \infty$

- Đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0, được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $lim_{x \to - \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ hoặc $lim_{x \to + \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$

Lời giải chi tiết

a) Xét $y = \frac{x^{2} + 2}{2 x - 4}$

Tập xác định: $D = R ∖ {2}$

Ta có:

$lim_{x \to 2^{+}} y = lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{2} + 2}{2 x - 4} = + \infty$ . $lim_{x \to 2^{-}} y = lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} + 2}{2 x - 4} = - \infty$ .

Ta có:

$lim_{x \to + \infty} [y - (\frac{1}{2} x + 1)] = lim_{x \to + \infty} [\frac{1}{2} x + 1 + \frac{6}{2 x - 4} - (\frac{1}{2} x + 1)] = lim_{x \to + \infty} \frac{6}{2 x - 4} = 0.$

$lim_{x \to - \infty} [y - (\frac{1}{2} x + 1)] = lim_{x \to - \infty} [\frac{1}{2} x + 1 + \frac{6}{2 x - 4} - (\frac{1}{2} x + 1)] = lim_{x \to - \infty} \frac{6}{2 x - 4} = 0.$

Vậy $x = 2$ là tiệm cận đứng, $y = \frac{1}{2} x + 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị.

b) Xét $y = \frac{2 x^{2} - 3 x - 6}{x + 2}$

Tập xác định: $D = R ∖ {- 2}$

Ta có: $lim_{x \to - 2^{+}} y = lim_{x \to - 2^{+}} \frac{2 x^{2} - 3 x - 6}{x + 2} = + \infty$ ; $lim_{x \to - 2^{-}} y = lim_{x \to - 2^{-}} \frac{2 x^{2} - 3 x - 6}{x + 2} = - \infty$

$a = lim_{x \to - \infty} \frac{y}{x} = lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} - 3 x - 6}{x^{2} + 2 x} = lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{3}{x} - \frac{6}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x}} = 2$

$b = lim_{x \to - \infty} (y - a x) = lim_{x \to - \infty} (\frac{2 x^{2} - 3 x - 6}{x + 2} - 2 x) = lim_{x \to - \infty} \frac{- 7 x - 6}{x + 2} = \frac{- 7 - \frac{6}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = - 7$

Vậy đường thẳng x = -2 và y = $2 x - 7$ lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c) Xét $y = \frac{2 x^{2} + 9 x + 11}{2 x + 5}$

Tập xác định: $D = R ∖ {- \frac{5}{2}}$

Ta có: $lim_{x \to - {\frac{5}{2}}^{+}} y = lim_{x \to - {\frac{5}{2}}^{+}} \frac{2 x^{2} + 9 x + 11}{2 x + 5} = + \infty$ . $lim_{x \to - {\frac{5}{2}}^{-}} y = lim_{x \to - {\frac{5}{2}}^{-}} \frac{2 x^{2} + 9 x + 11}{2 x + 5} = - \infty$ .

$y = \frac{2 x^{2} + 9 x + 11}{2 x + 5} = x + 2 + \frac{1}{2 x + 5}$ .

Ta có:

$lim_{x \to + \infty} [y - (x + 2)] = lim_{x \to + \infty} [x + 2 + \frac{1}{2 x + 5} - (x + 2)] = lim_{x \to + \infty} \frac{1}{2 x + 5} = 0.$

$lim_{x \to - \infty} [y - (x + 2)] = lim_{x \to - \infty} [x + 2 + \frac{1}{2 x + 5} - (x + 2)] = lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 x + 5} = 0.$

Vậy đồ thị có tiệm cận đứng là $x = - \frac{5}{2}$ , tiệm cận xiên là $y = x + 2$ .