Giải bài tập 2 trang 27

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (y = {x^3} - x), trục hoành và hai đường thẳng (x = 0), (x = 2).

Đề bài

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = x^{3} - x$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$ , $x = 2$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f (x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a$ , $x = b$ là $S = \int_{a}^{b} | f (x) | d x$ .

Lời giải chi tiết

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = x^{3} - x$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$ , $x = 2$ là: $S = \int_{- 1}^{1} | x^{3} - x | d x$ .

Ta có $x^{3} - x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm 1$ .

Do đó:

$S = \int_{0}^{2} | x^{3} - x | d x = \int_{0}^{1} | x^{3} - x | d x + \int_{1}^{2} | x^{3} - x | d x$

$= \int_{0}^{1} (x - x^{3}) d x + \int_{1}^{2} (x^{3} - x) d x$

$= (\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{4}) | \begin{matrix} ^{1} \\ _{0} \end{matrix} + (\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}) | \begin{matrix} ^{2} \\ _{1} \end{matrix}$

$= \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{5}{2}$ .