Giải bài tập 2 trang 36

Cho hàm số (y = {x^3} - 3{x^2} + 2) a) Tìm điểm I thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của I là nghiệm của phương trình y’’ = 0. b) Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Đề bài

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ .

a) Tìm điểm I thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của I là nghiệm của phương trình y’’ = 0.

b) Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) I(x;y). Giải phương trình y’’ = 0 ta tìm được x. Thay x vào hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ ta tìm được y.

b) Tọa độ của trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm có hoành độ bằng trung bình cộng hoành độ 2 điểm, tung độ bằng trung bình cộng trung bình 2 điểm.

Lời giải chi tiết

a) $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x$ .

$y^{″} = 6 x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ .

Thay x = 1 vào $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ ta được y = 0. Vậy I(1;0).

b) $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và $y_{c d} = 2$ .

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và $y_{c t} = - 2$ .

Trung điểm của đoạn thẳng nối 2 cực trị sẽ có tọa độ $(\frac{0 + 2}{2}; \frac{2 + (- 2)}{2})$ hay (1;0). Vậy I là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 cực trị.