Giải bài tập 2 trang 65

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. a) ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0). b) ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0). c) ({x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + frac{1}{2} = 0).

Đề bài

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 5 x - 7 y + z - 1 = 0$ .

b) $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x + 6 y - 2 z + 100 = 0$ .

c) $x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Các phương trình ở câu a và b đều là phương trình mặt cầu có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ . Xác định $a$ , $b$ , $c$ , $d$ và tính $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d$ , rồi rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 5 x - 7 y + z - 1 = 0$ là phương trình có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ với $a = - \frac{5}{2}$ , $b = \frac{7}{2}$ , $c = - \frac{1}{2}$ và $d = - 1$ .

Ta có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = {(- \frac{5}{2})}^{2} + {(\frac{7}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1 = \frac{79}{4} > 0.$

Vậy phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 5 x - 7 y + z - 1 = 0$ là phương trình mặt cầu có tâm $I (\frac{- 5}{2}; \frac{7}{2}; \frac{- 1}{2})$ và bán kính $R = \frac{\sqrt{79}}{2}$ .

b) Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x + 6 y - 2 z + 100 = 0$ là phương trình có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ với $a = - 2$ , $b = - 3$ , $c = 1$ và $d = 100$ .

Ta có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = {(- 2)}^{2} + {(- 3)}^{2} + 1^{2} - 100 = - 86 < 0.$

Vậy phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x + 6 y - 2 z + 100 = 0$ không phải là phương trình mặt cầu.

c) Phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0$ là phương trình có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ với $a = b = c = \frac{1}{2}$ và $d = \frac{1}{2}$ .

Ta có $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} > 0.$

Vậy phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0$ là phương trình mặt cầu có tâm $I (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ và bán kính $R = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ .