Giải bài tập 2 trang 69

Cho tam giác ABC ( AC < BC) nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính. Từ điểm O vẽ đường thẳng song song với AC và cắt đường tròn (O) tại I (điểm I thuộc cung nhỏ CB). a) Chứng minh OI vuông góc với BC. b) Vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và cắt OI tại M. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đườ

Đề bài

Cho tam giác ABC ( AC < BC) nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính. Từ điểm O vẽ đường thẳng song song với AC và cắt đường tròn (O) tại I (điểm I thuộc cung nhỏ CB).

a) Chứng minh OI vuông góc với BC.

b) Vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và cắt OI tại M. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Đọc kĩ dữ kiện đề bài để vẽ hình.

- Chứng minh tam giác ABC vuông tại C và OI // AC để suy ra OI vuông góc với BC.

- Chứng minh $Δ$ COM = $Δ$ BOM (c – g – c) nên $\hat{O B M} = \hat{O C M} = 90^{o}$

Suy ra MC là tiếp tuyến đường tròn (O).

Lời giải chi tiết

a) Xét đường tròn (O) có:

$\hat{A C B}$ là góc nội tiếp chắn cung AB, mà AB là đường kính của đường tròn (O).

$\hat{A C B}$ = 90^o hay tam giác ABC vuông tại C, mà OI // AC (giả thiết).

Suy ra OI $⊥$ BC (quan hệ từ vuông góc – song song).

b) Vì OB = OC = R suy ra tam giác OBC cân tại O mà OI là đường cao của tam giác OBC.

Suy ra OI đồng thời là phân giác của tam giác OBC.

Suy ra $\hat{C O I} = \hat{B O I}$ hay $\hat{C O M} = \hat{B O M}$

Xét $Δ$ COM và $Δ$ BOM có:

OC = OB = R;

$\hat{C O M} = \hat{B O M}$ (chứng minh trên);

OM chung.

Suy ra $Δ$ COM = $Δ$ BOM (c – g – c).

Do đó, $\hat{O B M} = \hat{O C M}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\hat{O B M}$ = 90^o (do MB là tiếp tuyến của đường tròn).

Suy ra $\hat{O C M}$ = 90^o hay OM $⊥$ MC mà C thuộc đường tròn (O)

Suy ra MC là tiếp tuyến đường tròn (O).