Giải bài tập 2 trang 79

Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC và lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại M, N, P. Chứng minh (widehat {AIN} = widehat {PMN} = frac{1}{2}widehat {PIN.})

Đề bài

Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC và lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại M, N, P. Chứng minh $\hat{A I N} = \hat{P M N} = \frac{1}{2} \hat{P I N .}$

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Lý thuyết: Góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn, góc nội tiếp bằng một nửa số đo cung bị chắn, suy ra $\hat{P M N} = \frac{1}{2} \hat{P I N .}$

Bước 2: Sử dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau để suy ra $\hat{A I N} = \frac{1}{2} \hat{P I N .}$

Lời giải chi tiết

Xét (I) có:

$\hat{P I N}$ là góc ở tâm chắc cung NP nên $\hat{P I N}$ = sđ $\overset{⌢}{N P}$ .

$\hat{P M N}$ là góc nội tiếp chắc cung NP nên $\hat{P M N}$ = $\frac{1}{2}$ sđ $\overset{⌢}{N P}$ .

Suy ra $\hat{P M N} = \frac{1}{2} \hat{P I N .}$ (1)

Ta lại có: $I N ⊥ A C, I P ⊥ A B$ nên AB, AC là 2 tiếp tuyến của (I) nên IA là tia phân giác của góc PIN, hay $\hat{A I N} = \frac{1}{2} \hat{P I N .}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\hat{A I N} = \hat{P M N} = \frac{1}{2} \hat{P I N .}$