Giải bài tập 20 trang 30

Đề bài

Tốc độ tăng dân số của một thành phố trong một số năm được ước lượng bởi công thức $P^{\prime }\left(t\right)=20.{\left(1,106\right)}^t$ với $0\le t\le 7$, trong đó $t$ là thời gian tính theo năm và  $t=0$ ứng với đầu năm 2015, $P\left(t\right)$ là dân số của thành phố tính theo nghìn người. Cho biết dân số của thành phố đầu năm 2015 là 1008 nghìn người.

a) Tính dân số của thành phố ở thời điểm đầu năm 2020 (làm tròn đến nghìn người).

b) Tính tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm của thành phố trong giai đoạn từ đầu năm 2015 đến đầu năm 2020.

Lời giải chi tiết

a) Theo đề bài, ta có $P\left(0\right)=1008$

Đến đầu năm 2020, ta có $t=2020-2015=5$. Do đó, dân số của thành phố ở thời điểm đầu năm 2020 là

$P\left(5\right)=\left[P\left(5\right)-P\left(0\right)\right]+P\left(0\right)$

$=\underset{0}{\overset{5}{\int }}{P}^{\prime }\left(t\right)dt+P\left(0\right)$

$=\underset{0}{\overset{5}{\int }}20.{\left(1,106\right)}^{t}dt+1008$

$=20.{\left(\frac{1,{106}^t}{\ln 1,106}\right)|}_0^5+1008$

$=20.\frac{1,{106}^5-1}{\ln 1,106}+1008\approx 1138$ (nghìn người).

Vậy dân số của thành phố đó vào đầu năm 2020 là khoảng 1138 nghìn người.

b) Tốc độ tăng dân số trung bình của thành phố trong giai đoạn từ đầu năm 2015 đến đầu năm 2020 là:

$v=\frac{P\left(5\right)-P\left(0\right)}{5}=\frac{1138-1008}{5}=26$ (nghìn người).