Giải bài tập 3.10 trang 104

Đề bài

Chiều cao của 500 học sinh một trường trung học cơ sở được thống kê trong Bảng 3.25.

a) Tính khoảng tứ phân vị, trung bình và độ lệch chuẩn chiều cao của 500 học sinh.

b) Kết quả tìm được cho biết điều gì về chiều cao của 500 học sinh này?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Công thức tìm tứ phân vị: $Q_{x} = L + (\frac{n_{x} - F}{f}) \times h$

- Khoảng tứ phân vị là khoảng giữa $Q_{3}$ và $Q_{1}$ , ký hiệu là: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$

- Công thức tính trung bình là:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{k} (x_{i} n_{i})}{N}$

- Công thức tính độ lệch chuẩn:

$S = \sqrt{\bar{x^{2}} - {(\bar{x})}^{2}} = \sqrt{\frac{\sum f_{i} x_{i}^{2}}{N} - {(\bar{x})}^{2}}$

Trung bình: Cho biết giá trị trung bình chiều cao của 500 học sinh. Nếu trung bình cao, có thể suy ra rằng chiều cao của nhóm này nói chung là cao.

Độ lệch chuẩn: Cho biết mức độ phân tán của các chiều cao xung quanh giá trị trung bình. Nếu độ lệch chuẩn lớn, điều đó có nghĩa là chiều cao của các học sinh rất khác nhau. Ngược lại, độ lệch chuẩn nhỏ cho thấy chiều cao của học sinh khá đồng đều.

Khoảng tứ phân vị: Giúp xác định sự phân tán của phần lớn dữ liệu (tức là 50% giữa). Nếu khoảng tứ phân vị nhỏ, điều đó cho thấy rằng phần lớn học sinh có chiều cao gần nhau. Nếu khoảng tứ phân vị lớn, điều đó chỉ ra rằng có sự khác biệt lớn về chiều cao giữa các học sinh.

Lời giải chi tiết

Tứ phân vị:

- $\frac{N}{4} = 125$ rơi vào nhóm [158; 162)

$Q_{1} = 158 + \frac{125 - 75}{200} .4 = 159$

- $\frac{3 N}{4} = 375$ rơi vào nhóm [162; 166)

$Q_{3} = 162 + \frac{375 - 275}{175} .4 = 164, 29$

Khoảng tứ phân vị:

$Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 164, 29 - 159 \approx 5, 29$

Chiều cao trung bình:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{k} (x_{i} n_{i})}{N} = \frac{152.25 + 156.50 + 160.200 + 164.175 + 168.50}{500} = 161, 4$

Độ lệch chuẩn chiều cao của 500 học sinh:

- Tính $\bar{x^{2}}$ :

$\bar{x_{G}^{2}} = \frac{\sum f_{i} . x_{i}^{2}}{N} = \frac{152^{2} .25 + 156^{2} .50 + 160^{2} .200 + 164^{2} .175 + 168^{2} .50}{500} = 26064, 8$

- Tính độ lệch chuẩn

$S = \sqrt{\bar{x^{2}} - {(\bar{x})}^{2}} = \sqrt{26064, 8 - 161, 4^{2}} \approx 3, 85$ cm

b) Nhận xét về chiều cao của 500 học sinh:

Trung bình chiều cao là 161.4 cm, cho thấy chiều cao trung bình của nhóm học sinh này rơi vào khoảng giữa của dãy chiều cao đã cho.

Độ lệch chuẩn là 3.85 cm, điều này cho thấy có sự phân tán tương đối nhỏ về chiều cao giữa các học sinh. Phần lớn học sinh có chiều cao gần với giá trị trung bình.

Như vậy, các giá trị tứ phân vị cho thấy rằng 25% học sinh có chiều cao dưới 159 cm và 75% học sinh có chiều cao dưới 164.29 cm, với sự phân tán khoảng 5.29 cm giữa $Q_{1}$ và $Q_{3}$ .