Giải bài tập 3.12 trang 104

Đề bài

Hàm lượng protein (trong 100g) của một số loại thực phẩm được cho trong bảng sau:

a) Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

b) Nêu ý nghĩa của các kết quả tìm được.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng các công thức sau:

- Khoảng biến thiên là sự chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong tập dữ liệu.

- Khoảng tứ phân vị là khoảng giữa $Q_{3}$ và $Q_{1}$ , ký hiệu là: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ với công thức tính tứ phân vị là:

$Q_{x} = L + (\frac{n_{x} - F}{f}) \times h$

- Công thức tính trung bình là:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{k} (x_{i} n_{i})}{N}$

- Công thức tính phương sai:

$S^{2} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{k} n_{i} (c_{i} - \bar{x})^{2}$

- Công thức tính độ lệch chuẩn:

$S = \sqrt{S^{2}}$

Khoảng biến thiên: Cho biết độ phân tán tổng thể của dữ liệu, tức là khoảng cách giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trong mẫu.

Khoảng tứ phân vị: Phản ánh sự phân tán của dữ liệu ở phần trung tâm, loại bỏ ảnh hưởng của các giá trị cực đoan.

Độ lệch chuẩn: Cung cấp thông tin về mức độ dao động của các giá trị trong mẫu so với giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình.

Lời giải chi tiết

a) Theo bảng, ta có N = 4 + 12 + 16 + 14 + 2 + 2 = 50.

Khoảng biến thiên:

R = Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất = 20 – 8 = 12

Tính tứ phân vị

- $\frac{N}{4} = 12, 5$ rơi vào nhóm [10; 12)

$Q_{1} = 10 + (\frac{12, 5 - 4}{12}) \times 2 = 10 + 1, 42 = 11, 42 g$

- $\frac{3 N}{4} = 37, 5$ rơi vào nhóm [14; 16)

$Q_{3} = 14 + (\frac{37, 5 - 32}{14}) \times 2 = 14 + 0, 79 = 14, 79 g$

Khoảng tứ phân vị:

$Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 14, 79 - 11, 42 = 3, 37 g$

Giá trị trung bình:

$\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{k} f_{i} \times x_{i} = \frac{4 \times 9 + 12 \times 11 + 16 \times 13 + 14 \times 15 + 2 \times 17 + 2 \times 19}{50} \approx 13, 16 g$

Độ lệch chuẩn của khối lượng những quả trứng này:

$S = \sqrt{\frac{1}{50} \sum_{i = 1}^{6} f_{i} \times {(x_{i} - 12.98)}^{2}}$

$S = \sqrt{\frac{1}{50} [4 \times {(9 - 13.16)}^{2} + 12 \times {(11 - 13.16)}^{2} + 16 \times {(13 - 13.16)}^{2} + 14 \times {(15 - 13.16)}^{2} + 2 \times {(17 - 13.16)}^{2} + 2 \times {(19 - 13.16)}^{2}]}$

$S = \sqrt{\frac{1}{50} \times 270.72} \approx \sqrt{5.41} \approx 2.33$

b) Ý nghĩa của các kết quả tìm được

Khoảng biến thiên (12 gram): Khoảng biến thiên đo lường sự khác biệt giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dữ liệu. Với khoảng biến thiên là 12, chúng ta biết rằng hàm lượng protein của các thực phẩm trong mẫu này dao động trong khoảng 12 gram.

Khoảng tứ phân vị (3,37 gram): Dữ liệu tập trung chủ yếu trong khoảng 3,37gram của tứ phân vị thứ nhất và thứ ba, cho thấy sự phân tán trung bình của hàm lượng protein trong các thực phẩm.

Giá trị trung bình cung cấp một ước lượng tổng quát về hàm lượng protein trung bình của các thực phẩm trong mẫu. Với giá trị trung bình là 13.16 gram, chúng ta có thể nói rằng, trung bình, mỗi thực phẩm trong mẫu có hàm lượng protein xấp xỉ 13.16 gram.

Độ lệch chuẩn đo lường mức độ phân tán của các giá trị dữ liệu xung quanh giá trị trung bình. Với độ lệch chuẩn là 2.33 gram, chúng ta biết rằng hàm lượng protein của các thực phẩm trong mẫu có sự phân tán trung bình khoảng 2.33 gram so với giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn nhỏ hơn cho thấy dữ liệu tập trung gần giá trị trung bình, trong khi độ lệch chuẩn lớn hơn cho thấy sự phân tán rộng hơn.