Giải bài tập 3.29 trang 71

Chứng minh các đẳng thức sau: a) (frac{{xsqrt y + ysqrt x }}{{sqrt {xy} }}:frac{1}{{sqrt x - sqrt y }} = x - y) với x, y dương và (x ne y); b) (frac{a}{{{{left( {a - b} right)}^2}}}sqrt {25{a^4}{{left( {a - b} right)}^4}} = 5{a^3}) với (a ne b); c) (frac{1}{{sqrt z - 2}} - frac{1}{{sqrt z + 2}} = fr

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\frac{x \sqrt{y} + y \sqrt{x}}{\sqrt{x y}} : \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = x - y$ với x, y dương và $x \neq y$

b) $\frac{a}{{(a - b)}^{2}} \sqrt{25 a^{4} {(a - b)}^{4}} = 5 a^{3}$ với $a \neq b$

c) $\frac{1}{\sqrt{z} - 2} - \frac{1}{\sqrt{z} + 2} = \frac{4}{z - 4}$ với $z \geq 0$ và $z \neq 4$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Với hai biểu thức A và B không âm, ta có: $\sqrt{A . B} = \sqrt{A} . \sqrt{B}$ .

+ Với các biểu thức A, B, C mà $A \geq 0, B \geq 0$ và $A \neq B$ , ta có: $\frac{C}{\sqrt{A} - \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} + \sqrt{B})}{A - B}$ .

b) Với mọi biểu thức đại số A, ta có: $\sqrt{A^{2}} = | A |$ .

c) Thực hiện phép trừ hai phân thức với mẫu thức chung là $(\sqrt{z} + 2) (\sqrt{z} - 2)$ .

Lời giải chi tiết

a) $\frac{x \sqrt{y} + y \sqrt{x}}{\sqrt{x y}} : \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$ $= \frac{\sqrt{x y} (\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x y}} : \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{{(\sqrt{x})}^{2} - {(\sqrt{y})}^{2}}$ $= (\sqrt{x} + \sqrt{y}) . \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$ $= x - y$ (đpcm)

b) $\frac{a}{{(a - b)}^{2}} \sqrt{25 a^{4} {(a - b)}^{4}}$ $= \frac{a}{{(a - b)}^{2}} \sqrt{{[5 a^{2} {(a - b)}^{2}]}^{2}}$ $= \frac{a .5 a^{2} {(a - b)}^{2}}{{(a - b)}^{2}}$ $= 5 a^{3}$ (đpcm)

c) $\frac{1}{\sqrt{z} - 2} - \frac{1}{\sqrt{z} + 2}$ $= \frac{\sqrt{z} + 2 - \sqrt{z} + 2}{(\sqrt{z} + 2) (\sqrt{z} - 2)}$ $= \frac{4}{z - 4}$ (đpcm)