Giải bài tập 3.30 trang 71

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa): a) (1√a−1+1a−√a):√a+1a−2√a+1(1a−1+1a−a):a+1a−2a+1\left( {\frac{1}{{\sqrt a - 1}} + \frac{1}{{a - \sqrt a }}} \right):\frac{{\sqrt a + 1}}{{a - 2\sqrt a + 1}}; b) xy+y√x+√x+1y√x+1xy+yx+x+1yx+1\frac{{xy + y\sqrt x + \sqrt x + 1}}{{y\sqr

Đề bài

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

a) $(\frac{1}{\sqrt{a} - 1} + \frac{1}{a - \sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a} + 1}{a - 2 \sqrt{a} + 1}$ ;

b) $\frac{x y + y \sqrt{x} + \sqrt{x} + 1}{y \sqrt{x} + 1}$ ;

c) $\frac{\sqrt{a^{3}} - \sqrt{b^{3}} + \sqrt{a^{2} b} - \sqrt{a b^{2}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Ta có: $\frac{1}{\sqrt{a} - 1} + \frac{1}{a - \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} (\sqrt{a} - 1)}$ , $\frac{\sqrt{a} + 1}{a - 2 \sqrt{a} + 1} = \frac{\sqrt{a} + 1}{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}}$ , từ đó rút gọn biểu thức.

b) Ta có: $x y + y \sqrt{x} + \sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x} + 1) (y \sqrt{x} + 1),$ từ đó rút gọn biểu thức.

c) Ta có: $\sqrt{a^{3}} - \sqrt{b^{3}} + \sqrt{a^{2} b} - \sqrt{a b^{2}} = (\sqrt{a} + \sqrt{b}) (a - b)$ , từ đó rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết

a) $(\frac{1}{\sqrt{a} - 1} + \frac{1}{a - \sqrt{a}}) : \frac{\sqrt{a} + 1}{a - 2 \sqrt{a} + 1}$ $= \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} (\sqrt{a} - 1)} . \frac{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}}{\sqrt{a} + 1}$ $= \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}}$ ;

b) $\frac{x y + y \sqrt{x} + \sqrt{x} + 1}{y \sqrt{x} + 1}$ $= \frac{\sqrt{x} (y \sqrt{x} + 1) + (y \sqrt{x} + 1)}{y \sqrt{x} + 1}$ $= \frac{(\sqrt{x} + 1) (y \sqrt{x} + 1)}{y \sqrt{x} + 1}$ $= \sqrt{x} + 1$ ;

c) $\frac{\sqrt{a^{3}} - \sqrt{b^{3}} + \sqrt{a^{2} b} - \sqrt{a b^{2}}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ $= \frac{(\sqrt{a^{3}} + \sqrt{a^{2} b}) - (\sqrt{b^{3}} + \sqrt{a b^{2}})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ $= \frac{\sqrt{a^{2}} (\sqrt{a} + \sqrt{b}) - \sqrt{b^{2}} (\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ $= \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (a - b)}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ $= a - b$