Giải bài tập 3 trang 12

Đề bài

Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:

a) $y=-x^3+2x^2-3$;

b) $y=x^4+2x^2+5$;

c) $y=\frac{3x+1}{2-x}$;

d) $y=\frac{x^2-2x}{x+1}$.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D=R$.

Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+4x$.

Nhận xét $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=\frac{4}{3}\end{array}$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;\frac{4}{3}\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ và $\left(\frac{4}{3};+\infty \right)$.

b) Tập xác định: $D=R$.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3+4x$.

Nhận xét $y^{\prime }=0\iff x=0$.

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;0\right)$.

c) Tập xác định: $D=R\setminus \left\{2\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{5}{{\left(2-x\right)}^2}$.

Nhận xét $y^{\prime }>0$ $\forall x\in D$.

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;2\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$.

d) Tập xác định: $D=R\setminus \left\{-1\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{\left(2x-2\right)\left(x+1\right)-x^2+2x}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{x^2+2x-2}{{\left(x+1\right)}^2}$.

Nhận xét $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{c}x=-1+\sqrt{3}\\ x=-1-\sqrt{3}\end{array}$.

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-1-\sqrt{3}\right)$ và $\left(-1+\sqrt{3};+\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-1-\sqrt{3};-1\right)$ và $\left(-1;-1+\sqrt{3}\right)$.