Giải bài tập 3 trang 12

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số sau: a) (y = - {x^3} + 2{x^2} - 3) b) (y = {x^4} + 2{x^2} + 5) c) (y = frac{{3x + 1}}{{2 - x}}) d) (y = frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}})

Đề bài

Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:

a) $y = - x^{3} + 2 x^{2} - 3$ ;

b) $y = x^{4} + 2 x^{2} + 5$ ;

c) $y = \frac{3 x + 1}{2 - x}$ ;

d) $y = \frac{x^{2} - 2 x}{x + 1}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

B1: Tìm tập xác định của hàm số.

B2: Tính $y^{'}$ . Tìm các điểm mà tại đó $y^{'} = 0$ hoặc $y^{'}$ không tồn tại.

B3: Lập bảng biến thiên của hàm số.

B4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = R$ .

Ta có: $y^{'} = - 3 x^{2} + 4 x$ .

Nhận xét $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{4}{3} \end{array}$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0; \frac{4}{3})$ và nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$ và $(\frac{4}{3}; + \infty)$ .

b) Tập xác định: $D = R$ .

Ta có: $y^{'} = 4 x^{3} + 4 x$ .

Nhận xét $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ và nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$ .

c) Tập xác định: $D = R ∖ {2}$ .

Ta có: $y^{'} = \frac{5}{{(2 - x)}^{2}}$ .

Nhận xét $y^{'} > 0$ $\forall x \in D$ .

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 2)$ và $(2; + \infty)$ .

d) Tập xác định: $D = R ∖ {- 1}$ .

Ta có: $y^{'} = \frac{(2 x - 2) (x + 1) - x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x - 2}{{(x + 1)}^{2}}$ .

Nhận xét $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 + \sqrt{3} \\ x = - 1 - \sqrt{3} \end{array}$ .

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1 - \sqrt{3})$ và $(- 1 + \sqrt{3}; + \infty)$ và nghịch biến trên khoảng $(- 1 - \sqrt{3}; - 1)$ và $(- 1; - 1 + \sqrt{3})$ .