Giải bài tập 3 trang 124

Cho hình vuông (ABCD) cạnh (r) và đường tròn (left( {C;r} right)) giả sử (M) là một điểm nằm trên đường tròn (left( {C;r} right)) sao cho điểm (M) nằm trong hình vuông (ABCD). Tiếp tuyến của đường tròn (left( {C;r} right)) tại tiếp điểm (M) cắt các đoạn thẳng (AB,AD) lần lượt tại (N,P). Chứng minh:

Đề bài

Cho hình vuông $A B C D$ cạnh $r$ và đường tròn $(C; r)$ giả sử $M$ là một điểm nằm trên đường tròn $(C; r)$ sao cho điểm $M$ nằm trong hình vuông $A B C D$ . Tiếp tuyến của đường tròn $(C; r)$ tại tiếp điểm $M$ cắt các đoạn thẳng $A B, A D$ lần lượt tại $N, P$ . Chứng minh:

a) Các đường thẳng $N B, P D$ là các tiếp tuyến của đường tròn $(C; r)$ .

b) $\hat{N C P} = \hat{N C B} + \hat{P C D} = 45^{\circ}$ .

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào kiến thức đã học để chứng minh.

Lời giải chi tiết

a) Do $A B C D$ là hình vuông nên $A B = B C = C D = A D = r$ ; $A B ⊥ B C$ hay $N B ⊥ B C$ ; $A D ⊥ C D$ hay $P D ⊥ C D$ .

Xét $(C)$ có:

+ $B \in (C); N B ⊥ B C \Rightarrow N B$ là tiếp tuyến của $(C)$ .

+ $D \in (C); P D ⊥ C D \Rightarrow P D$ là tiếp tuyến của $(C)$ .

b) Do $M P$ và $P D$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $P$ nên $C P$ là tia phân giác của $\hat{M C D} \Rightarrow \hat{M C P} = \hat{P C D}$ (1).

Do $M N$ nà $N B$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $N$ nên $C N$ là tia phân giác của $\hat{M C B} \Rightarrow \hat{M C N} = \hat{B C N}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{M C P} + \hat{M C N} = \hat{P C D} + \hat{B C N}$ $\Rightarrow \hat{P C N} = \hat{P C D} + \hat{B C N}$ .

Lại có: $\hat{P C N} + \hat{P C D} + \hat{P C N} = 90^{\circ}$ hay $\hat{P C N} + \hat{P C N} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{P C N} = 45^{\circ}$ .

Vậy $\hat{P C N} = \hat{P C D} + \hat{B C N} = 45^{\circ}$ .