Giải bài tập 3 trang 42

Cho tứ diện (ABCD) có các đỉnh (Aleft( {4;0;2} right)), (Bleft( {0;5;1} right)), (Cleft( {4; - 1;3} right)), (Dleft( {3; - 1;5} right)). a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (left( {ABC} right)) và (left( {ABD} right)). b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (left( P right)) đi qua cạnh (BC) và so

Đề bài

Cho tứ diện $A B C D$ có các đỉnh $A (4; 0; 2)$ , $B (0; 5; 1)$ , $C (4; - 1; 3)$ , $D (3; - 1; 5)$ .

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng $(A B C)$ và $(A B D)$ .

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua cạnh $B C$ và song song với cạnh $A D$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Mặt phẳng $(A B C)$ đi qua ba điểm $A$ , $B$ , $C$ nên sẽ nhận $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ làm một cặp vectơ chỉ phương. Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(A B C)$ là $\vec{n_{(A B C)}} = [\vec{A B}, \vec{A C}]$ , rồi viết phương trình mặt phẳng $(A B C)$ .

Mặt phẳng $(A B D)$ đi qua ba điểm $A$ , $B$ , $D$ nên sẽ nhận $\vec{A B}$ và $\vec{A D}$ làm một cặp vectơ chỉ phương. Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(A B D)$ là $\vec{n_{(A B D)}} = [\vec{A B}, \vec{A D}]$ , rồi viết phương trình mặt phẳng $(A B D)$ .

b) Mặt phẳng $(P)$ đi qua cạnh $B C$ và song song với cạnh $A D$ nên có một cặp vectơ chỉ phương là $\vec{B C}$ và $\vec{A D}$ . Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n_{(P)}} = [\vec{B C}, \vec{A D}]$ , rồi viết phương trình mặt phẳng $(P)$ .

Lời giải chi tiết

a) Mặt phẳng $(A B C)$ đi qua ba điểm $A (4; 0; 2)$ , $B (0; 5; 1)$ , $C (4; - 1; 3)$ nên sẽ nhận $\vec{A B} (- 4; 5; - 1)$ và $\vec{A C} (0; - 1; 1)$ làm một cặp vectơ chỉ phương. Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(A B C)$ là:

$\vec{n_{(A B C)}} = [\vec{A B}, \vec{A C}]$

$= (5.1 - (- 1) . (- 1); (- 1) .0 - (- 4) .1; (- 4) . (- 1) - 5.0)$

$= (4; 4; 4)$ .

Vậy phương trình mặt phẳng $(A B C)$ là:

$4 (x - 4) + 4 (y - 0) + 4 (z - 2) = 0$

$\Leftrightarrow x + y + z - 6 = 0$ .

Mặt phẳng $(A B D)$ đi qua ba điểm $A (4; 0; 2)$ , $B (0; 5; 1)$ , $D (3; - 1; 5)$ nên sẽ nhận $\vec{A B} (- 4; 5; - 1)$ và $\vec{A D} (- 1; - 1; 3)$ làm một cặp vectơ chỉ phương. Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(A B D)$ là:

$\vec{n_{(A B D)}} = [\vec{A B}, \vec{A D}]$

$= (5.3 - (- 1) . (- 1); (- 1) . (- 1) - (- 4) .3; (- 4) . (- 1) - 5. (- 1))$

$= (14; 13; 9)$ .

Vậy phương trình mặt phẳng $(A B D)$ là:

$14 (x - 4) + 13 (y - 0) + 9 (z - 2) = 0$

$\Leftrightarrow 14 x + 13 y + 9 z - 74 = 0$ .

b) Mặt phẳng $(P)$ đi qua cạnh $B C$ và song song với cạnh $A D$ , và do $A B C D$ là tứ diện nên $\vec{B C} (4; - 6; 2)$ và $\vec{A D} (- 1; - 1; 3)$ là một cặp vectơ chỉ phương của $(P)$ . Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:

$\vec{n_{(P)}} = [\vec{B C}, \vec{A D}]$

$= ((- 6) .3 - 2. (- 1); 2. (- 1) - 4.3; 4. (- 1) - (- 6) . (- 1))$

$= (- 16; - 14; - 10)$ .

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là:

$- 16 (x - 0) - 14 (y - 5) - 10 (z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow 8 x + 7 y + 5 z - 40 = 0$ .