Giải bài tập 3 trang 61

Đề bài

 

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’  có cạnh bằng a. Tính:

a) $\overrightarrow{A^{\prime }B}.\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$; $\overrightarrow{D^{\prime }A}.\overrightarrow{BC}$;

b) Các góc $\left(\overrightarrow{A^{\prime }D},\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\right)$; $\left(\overrightarrow{A{D}^{\prime },}\overrightarrow{BD}\right)$.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương cạnh a nên độ dài đường chéo mỗi mặt bằng $a\sqrt{2}$; góc giữa một cạnh và đường chéo của mặt phẳng chứa cạnh đó bằng ${45}^o$.

a) $\overrightarrow{A^{\prime }B}.\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D^{\prime }C}.\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=D^{\prime }C.D^{\prime }{C}^{\prime }.\cos \left(\overrightarrow{D^{\prime }C},\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}\right)$

$=D^{\prime }C.D^{\prime }{C}^{\prime }.\cos \widehat{C{D}^{\prime }{C}^{\prime }}=a\sqrt{2}.a.\cos {45}^o=a^2$.

$\overrightarrow{D^{\prime }A}.\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{A{D}^{\prime }}.\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{A{D}^{\prime }}.\overrightarrow{AD}=-A{D}^{\prime }.AD.\cos \left(\overrightarrow{A{D}^{\prime }},\overrightarrow{AD}\right)$

$=A{D}^{\prime }.AD.\cos \left(\overrightarrow{A{D}^{\prime }},\overrightarrow{AD}\right)=-a\sqrt{2}.a.\cos {45}^o=-a^2$.

b) $\left(\overrightarrow{A^{\prime }D},\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\right)=\left(\overrightarrow{A^{\prime }D},\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}\right)$

$=\left(\overrightarrow{A^{\prime }D},\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}\right)=\widehat{D{A}^{\prime }{D}^{\prime }}={45}^o$.

Xét tam giác C’BD có BC’ = BD = C’D nên tam giác C’BD đều, suy ra $\widehat{C^{\prime }BD}={60}^o$.

$\left(\overrightarrow{A{D}^{\prime }},\overrightarrow{BD}\right)=\left(\overrightarrow{B{C}^{\prime }},\overrightarrow{BD}\right)=\widehat{C^{\prime }BD}={60}^o$.