Giải bài tập 3 trang 64

Cho ba điểm A(2; 1; –1), B(3; 2; 0) và C(2; –1; 3). a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi tam giác ABC. b) Tìm toạ độ trung điểm của các cạnh của tam giác ABC. c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Đề bài

Cho ba điểm A(2; 1; –1), B(3; 2; 0) và C(2; –1; 3).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tính chu vi tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ trung điểm của các cạnh của tam giác ABC.

c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) A, B, C không thẳng hàng thì tạo thành một tam giác. Chu vi tam giác bằng tổng độ dài 3 cạnh.

b) Cho tam giác ABC có $A (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ , $B (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ , $C (c_{1}; c_{2}; c_{3})$ , ta có $M (\frac{a_{1} + b_{1}}{2}; \frac{a_{2} + b_{2}}{2}; \frac{a_{3} + b_{3}}{2})$ là trung điểm của AB.

c) $G (\frac{a_{1} + b_{1} + c_{1}}{3}; \frac{a_{2} + b_{2} + c_{2}}{3}; \frac{a_{3} + b_{3} + c_{3}}{3})$ là trọng tâm của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\vec{A B} = (1; 1; 1)$ , $\vec{A C} = (0; - 2; 4)$ , $\vec{B C} = (- 1; - 3; 3)$ .

Vì $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ không cùng phương nên A, B, C không thẳng hàng.

Do đó A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Ta có chu vi tam giác ABC là:

AB + AC + BC

= $\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} + \sqrt{0^{2} + (- 2)^{2} + 4^{2}} + \sqrt{(- 1)^{2} + (- 3)^{2} + 3^{2}}$

= $\sqrt{3} + 2 \sqrt{5} + \sqrt{19}$ .

b) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.

Ta có: $A^{'} (\frac{2 + 3}{2}; \frac{1 + 2}{2}; \frac{- 1}{2})$ hay $A^{'} (\frac{5}{2}; \frac{3}{2}; - \frac{1}{2})$ .

$B^{'} (\frac{3 + 2}{2}; \frac{2 - 1}{2}; \frac{3}{2})$ hay $B^{'} (\frac{5}{2}; \frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ .

$C^{'} (\frac{2 + 2}{2}; \frac{1 - 1}{2}; \frac{- 1 + 3}{2})$ hay $C^{'} (2; 0; 1)$ .

c) $G (\frac{2 + 3 + 2}{3}; \frac{1 + 2 - 1}{3}; \frac{- 1 + 3}{3})$ hay $G (\frac{7}{3}; \frac{2}{3}; \frac{2}{3})$ .