Giải bài tập 3 trang 65

Cho hai điểm (Aleft( {1;0;0} right)) và (Bleft( {5;0;0} right)). Chứng minh rằng nếu điểm (Mleft( {x;y;z} right)) thoả mãn (overrightarrow {MA} .overrightarrow {MB} = 0) thì (M) thuộc một mặt cầu (left( S right)). Tìm tâm và bán kính của (left( S right)).

Đề bài

Cho hai điểm $A (1; 0; 0)$ và $B (5; 0; 0)$ . Chứng minh rằng nếu điểm $M (x; y; z)$ thoả mãn $\vec{M A} . \vec{M B} = 0$ thì $M$ thuộc một mặt cầu $(S)$ . Tìm tâm và bán kính của $(S)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xác định toạ độ các vectơ $\vec{M A}$ và $\vec{M B}$ , sau đó tính tích vô hướng $\vec{M A} . \vec{M B}$ theo $x$ , $y$ , $z$ và rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết

Ta có $\vec{M A} = (1 - x; y; z)$ và $\vec{M B} = (5 - x; y; z)$ .

Do $\vec{M A} . \vec{M B} = 0$ nên

$\begin{array}{l} (1 - x) (5 - x) + y^{2} + z^{2} = 0 \\ \Rightarrow x^{2} - 6 x + 5 + y^{2} + z^{2} = 0 \\ \Rightarrow (x^{2} - 6 x + 9) + y^{2} + z^{2} = 4 \\ \Rightarrow {(x - 3)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 \end{array}$

Vậy điểm $M (x; y; z)$ thuộc mặt cầu $S$ có tâm $I (3; 0; 0)$ và bán kính $R = \sqrt{4} = 2$ .