Giải bài tập 3 trang 65

Đề bài

Cho hai điểm $A\left(1;0;0\right)$ và $B\left(5;0;0\right)$. Chứng minh rằng nếu điểm $M\left(x;y;z\right)$ thoả mãn $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$ thì $M$ thuộc một mặt cầu $\left(S\right)$. Tìm tâm và bán kính của $\left(S\right)$.

Lời giải chi tiết

Ta có $\overrightarrow{MA}=\left(1-x;y;z\right)$ và $\overrightarrow{MB}=\left(5-x;y;z\right)$.

Do $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$ nên

$\begin{array}{c}\left(1-x\right)\left(5-x\right)+y^2+z^2=0\\ \Rightarrow x^2-6x+5+y^2+z^2=0\\ \Rightarrow \left(x^2-6x+9\right)+y^2+z^2=4\\ \Rightarrow {\left(x-3\right)}^2+y^2+z^2=4\end{array}$

Vậy điểm $M\left(x;y;z\right)$ thuộc mặt cầu $S$ có tâm $I\left(3;0;0\right)$ và bán kính $R=\sqrt{4}=2$.