Giải bài tập 3 trang 69

Đề bài

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh AB, BC, AC (Hình 11).

a) Chứng minh 2AD = AB + AC – BC.

b) Tìm các hệ thức tương tự như ở câu a.

Lời giải chi tiết

a) Ta có D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh AB, BC, AC nên tính chất hai tiếp tuyến bằng nhau, ta có:

$AD=AF;CF=CE;BD=BE$ (1)

Ta có:

$AB+AC–BC=(AD+BD)+(AF+FC)–(BE+EC)$

$=AD+BD+AF+FC–BE-EC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra 

$AB+AC–BC=AD+BE+AD+EC–BE–EC$

$=(AD+AD)+(BE-BE)+(CE-CE)=2AD$

b) Các hệ thức tương tự như ở câu a:

$2AF=AB+AC–BC$;

$2BD=2BE=AB+BC–AC$; 

$2EC=2FC=AC+BC–AB$.