Giải bài tập 4.1 trang 10

Đề bài

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại? a) $x{e}^x$ và $(x-1)e^x$;

b) $\frac{1}{2}{\ln }^{2}x$ và $\frac{\ln x}{x}$.

Lời giải chi tiết

a) Xét $f\left(x\right)=(x-1)e^x$, ta tính đạo hàm:

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left[\right(x-1\left)e^x\right]=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$

Vậy $(x-1)e^x$ là nguyên hàm của $x{e}^x$.

b) Xét $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{\ln }^{2}x$, ta tính tích phân:

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}{\ln }^{2}x\right)=\frac{1}{2}.\frac{d}{dx}\left({\ln }^{2}x\right)=\frac{1}{2}.2.\ln x.\frac{d}{dx}\left(\ln x\right)=\ln x.\frac{1}{x}=\frac{\ln x}{x}$

Vậy $\frac{1}{2}{\ln }^{2}x$ là nguyên hàm của $\ln x$.