Giải bài tập 4.1 trang 11

Đề bài

Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao?

a) $F\left(x\right)=x\ln x$ và $f\left(x\right)=1+\ln x$ trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$;

b) $F\left(x\right)=e^{\sin x}$ và $f\left(x\right)=e^{\cos x}$ trên $R$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $F^{\prime }\left(x\right)={\left(x\ln x\right)}^{\prime }=\ln x+\frac{x}{x}=\ln x+1$.

Do đó, $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$ với mọi x thuộc $\left(0;+\infty \right)$.

Vậy, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$.

b) Ta có: $F^{\prime }\left(x\right)={\left(e^{\sin x}\right)}^{\prime }=\cos x.e^{\sin x}\ne e^{\cos x}$.

Vậy hàm số F(x) không là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên $R$.