Giải bài tập 4.1 trang 82

Tính tỉ số lượng giác của các góc αα\alpha và ββ\beta trong mỗi trường hợp ở Hình 4.13.

Đề bài

Tính tỉ số lượng giác của các góc $α$ và $β$ trong mỗi trường hợp ở Hình 4.13.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a, b, c) Sử dụng kiến thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính: Trong tam giác vuông có góc nhọn $α$ , khi đó:

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là $\sin α$ .

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là $\cos α$ .

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là $\tan α$ .

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là $\cot α$ .

c) Sử dụng kiến thức để tính góc $β$ : Nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin của góc kia, tang của góc này bằng côtang của góc kia.

Lời giải chi tiết

Hình a: $Δ$ ADB vuông tại D nên $A D^{2} + D B^{2} = A B^{2}$ (Định lí Pythagore).

Suy ra: $A D^{2} = A B^{2} - B D^{2} = 10^{2} - 6^{2} = 64$ .

Do đó, $A D = 8$ .

Suy ra, $\sin α = \frac{A D}{A B} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ , $\cos α = \frac{B D}{A B} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ , $\tan α = \frac{A D}{B D} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ , $\cot α = \frac{B D}{A D} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ .

$Δ$ ADC vuông tại D nên $A C^{2} = A D^{2} + D C^{2} = 9^{2} + 64 = 145$ (Định lí Pythagore). Do đó, $A C = \sqrt{145}$

Do đó, $\sin β = \frac{A D}{A C} = \frac{8}{\sqrt{145}}$ , $\cos β = \frac{D C}{A C} = \frac{9}{\sqrt{145}}$ , $\tan β = \frac{A D}{D C} = \frac{8}{9}$ , $\cot β = \frac{D C}{A D} = \frac{9}{8}$ .

Hình b:

$Δ$ ADC vuông tại D nên $A C^{2} = A D^{2} + D C^{2} = 7^{2} + 20^{2} = 449$ (Định lí Pythagore). Do đó, $A C = \sqrt{449}$ .

Do đó, $\sin β = \frac{A D}{A C} = \frac{20}{\sqrt{449}}$ , $\cos β = \frac{D C}{A C} = \frac{7}{\sqrt{449}}$ , $\tan β = \frac{A D}{D C} = \frac{20}{7}$ , $\cot β = \frac{D C}{A D} = \frac{7}{20}$ .

$Δ$ ADB vuông tại D nên $A B^{2} = A D^{2} + D B^{2} = 12^{2} + 20^{2} = 544$ (Định lí Pythagore). Do đó, $A B = 4 \sqrt{34}$ .

Do đó, $\sin α = \frac{A D}{A B} = \frac{20}{4 \sqrt{34}} = \frac{5 \sqrt{34}}{34}$ , $\cos α = \frac{D B}{A B} = \frac{12}{4 \sqrt{34}} = \frac{3 \sqrt{34}}{34}$ , $\tan α = \frac{A D}{D B} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$ , $\cot α = \frac{D B}{A D} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ .

Hình c: $Δ$ ABC vuông tại A nên $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ (Định lí Pythagore).

Do đó, $A B = \sqrt{B C^{2} - A C^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12$ .

Suy ra, $\sin α = \frac{A C}{B C} = \frac{5}{13}$ , $\cos α = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{13}$ , $\tan α = \frac{A C}{A B} = \frac{5}{12}$ , $\cot α = \frac{A B}{A C} = \frac{12}{5}$ .

Vì $α + β = 90^{o}$ nên $\sin β = \cos α = \frac{12}{13}$ , $\cos β = \sin α = \frac{5}{13}$ , $\tan β = \cot α = \frac{12}{5}$ , $\cot β = \tan α = \frac{5}{12}$