Giải bài tập 4.10 trang 18

Tính: a) (intlimits_0^3 {{{left( {3x - 1} right)}^2}dx} ); b) (intlimits_0^{frac{pi }{2}} {left( {1 + sin x} right)dx} ); c) (intlimits_0^1 {left( {{e^{2x}} + 3{x^2}} right)dx} ); d) (intlimits_{ - 1}^2 {left| {2x + 1} right|dx} ).

Đề bài

Tính:

a) $\int_{0}^{3} {(3 x - 1)}^{2} d x$ ;

b) $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + \sin x) d x$ ;

c) $\int_{0}^{1} (e^{2 x} + 3 x^{2}) d x$ ;

d) $\int_{- 1}^{2} | 2 x + 1 | d x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

+ $\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$ (k là hằng số).

+ $\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$ .

+ $\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x$ .

+ $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ $(a < c < b)$ .

Lời giải chi tiết

a) $\int_{0}^{3} {(3 x - 1)}^{2} d x$

$= \int_{0}^{3} (9 x^{2} - 6 x + 1) d x$

$= 9 \int_{0}^{3} x^{2} d x - 6 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} d x$ .

$= 3 x^{3} | \begin{array}{l} 3 \\ 0 \end{array} - 3 x^{2} | \begin{array}{l} 3 \\ 0 \end{array} + x | \begin{array}{l} 3 \\ 0 \end{array}$

$= 81 - 27 + 3 = 57$ .

b) $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + \sin x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x$

$= x | \begin{array}{l} \frac{π}{2} \\ 0 \end{array} - \cos x | \begin{array}{l} \frac{π}{2} \\ 0 \end{array} = \frac{π}{2} + 1$ .

c) $\int_{0}^{1} (e^{2 x} + 3 x^{2}) d x$

$= \int_{0}^{1} {(e^{2})}^{x} d x + 3 \int_{0}^{1} x^{2} d x$

$= \frac{e^{2 x}}{\ln e^{2}} | \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} + x^{3} | \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}$

$= \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{e^{2}}{2} + \frac{1}{2}$ .

d) $\int_{- 1}^{2} | 2 x + 1 | d x$

$= \int_{- 1}^{\frac{- 1}{2}} | 2 x + 1 | d x + \int_{\frac{- 1}{2}}^{2} | 2 x + 1 | d x$

$= - \int_{- 1}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 1) d x + \int_{\frac{- 1}{2}}^{2} (2 x + 1) d x$

$= - (x^{2} + x) | \begin{array}{l} \frac{- 1}{2} \\ - 1 \end{array} + (x^{2} + x) | \begin{array}{l} 2 \\ \frac{- 1}{2} \end{array}$

$= - [{(\frac{- 1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - {(- 1)}^{2} + 1]$

$+ [2^{2} + 2 - {(\frac{- 1}{2})}^{2} + \frac{1}{2}]$

$= \frac{1}{4} + \frac{25}{4} = \frac{13}{2}$ .