Giải bài tập 4.11 trang 18

Đề bài

Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm t (giây) là $v\left(t\right)=t^2-t-6$ (m/s).

a) Tìm độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian $1\le t\le 4$, tức là tính $\underset{1}{\overset{4}{\int }}v\left(t\right)dt$.

b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $1\le t\le 4$, tức là tính $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|v\left(t\right)\right|dt$. 

Lời giải chi tiết

a) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian $1\le t\le 4$ là:

$\underset{1}{\overset{4}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(t^2-t-6\right)dt=\left(\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}-6t\right)|\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}$

$=\left(\frac{4^3}{3}-\frac{4^2}{2}-6.4\right)-\left(\frac{1^3}{3}-\frac{1^2}{2}-6.1\right)=\frac{-9}{2}$.

Vậy vật dịch chuyển $\frac{9}{2}$ m trong khoảng thời gian $1\le t\le 4$.

b) Tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này là:

$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|v\left(t\right)\right|dt=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|t^2-t-6\right|dt$

$=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|t^2-t-6\right|dt+\underset{3}{\overset{4}{\int }}\left|t^2-t-6\right|dt$

$=-\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(t^2-t-6\right)dt+\underset{3}{\overset{4}{\int }}\left(t^2-t-6\right)dt$

$=-\left(\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}-6t\right)|\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}+\left(\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}-6t\right)|\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}$

$=-\left[\left(\frac{3^3}{3}-\frac{3^2}{2}-6.3\right)-\left(\frac{1^3}{3}-\frac{1^2}{2}-6.1\right)\right]$

$+\left[\left(\frac{4^3}{3}-\frac{4^2}{2}-6.4\right)-\left(\frac{3^3}{3}-\frac{3^2}{2}-6.3\right)\right]$

$=\frac{22}{3}+\frac{17}{6}=\frac{61}{6}$.